3.3垂径定理　　3.3垂径定理　　导学案

3.3 垂径定理 姓名__________ 班级_________ 【学习目标】 1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点） 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点） 【学习准备】 【合作探究】 问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 问题：如图,AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为P.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧? 为什么? 已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足为P. 求证：AP=BP， 归纳总结 · 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧. · 推导格式： ∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件) ∴___________________________________ 想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ 思考探索 如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？ ①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦； ④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧. 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？ 证明猜想 ① CD是直径② CD⊥AB，垂足为E ③ AE=BE ④ ⑤ 举例证明其中一种组合方法 证明举例 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE. （1）CD⊥AB吗？为什么？ （2）对吗？ · 垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧. 思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例. 特别说明：圆的两条直径是互相平分的. 垂径定理的本质是: · 垂径定理及其推论的计算 例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=_____cm. 例2 如图， ⊙ O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长. 例3：已知：⊙O中弦AB∥CD,求证：. · 垂径定理的实际应用 试一试：根据所学新知，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗? 例4如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径. 针对训练 如图a、b,一弓形弦长为cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为＿＿＿____＿. 涉及垂径定理时辅助线的添加方法 在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解. 弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系： 【当堂检测】 1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为___________. 2.⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°,则弦AC= _________ . 【归纳小结】 5 学科网（北京）股份有限公司 $$