9.2用样本估计总体 讲义-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

用样本估计总体 【考纲解读】 1、 理解极差，组距，频率，平均数，方差和标准差的定义，掌握求极差，组距，频率，平均数，方差和标准差的基本方法； 2、 理解频率分布折线图，总体密度曲线，频率分布直方图和茎叶图的定义，掌握作频率分布折线图，总体密度曲线，频率分布直方图和茎叶图的基本方法，能够运用频率分布折线图，总体密度曲线，频率分布直方图和茎叶图解答相关的数学问题； 3、 掌握用样本估计总体的基本方法，能够运用样本指标推断总体的相应指标。 【知识精讲】 一、用样本的频率分布估计总体的频率分布： 1、频率分布直方图： （1）频数，频率的定义：①频数的定义：各组的个体数，称为频数；②频率的定义：各组个体数与样本个体数的比值，称为频率； （2）频率分布表的定义：反映样本频率分布的表格，称为频率分布表； （3）频率分布直方图的定义：反映样本频率分布规律的直方图，称为频率分布直方图； （4）频率分布直方图的特征：①从频率分布直方图可以清楚的看出频率分布的总体趋势； ②从频率分布直方图得不出原始数据的内容；③频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距，纵坐标表示，频率=组距；④频率分布直方图中各矩形面积之和为1，各矩形高的比等于频率之比；⑤频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种形式，频率分布表的特征是准确，频率分布直方图的特征是直观。 （5） 频率分布直方图的作法：①求出数据的极差（极差=数据中的最大值-数据中的最小值）； ②确定组距与组数；③将数据进行分组；④列出频率分布表；⑤作出频率分布直方图。 2、频率分布折线图、总体密度曲线： （1）频率分布折线图的定义：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点得到的折线，称为频率分布折线图（在具体作图时左边与原点连接，右边延长与X轴相交）； （2）总体密度曲线的定义：当样本的容量增加，作图时所分的组数增加，组距缩小得到的频率折线图就越来越接近一条光滑的曲线，这条曲线称为总体密度曲线。 3、茎叶图： （1）茎叶图的定义：当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，两边的数字表示个位数而得到的统计图，称为茎叶图； （2）茎叶图的特征：①茎叶图上的数据没有原始数据信息的损失；②茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加；③茎叶图只便于表示两位有效数字的数据；④茎叶图只方便记录两组数据。 二、用样本的期望值,方差估计总体的期望值,方差： 1、基本统计指标概念： （1）样本期望值（也称样本平均数）的定义：样本数据的平均值，称为样本的期望值（或样本的平均数），样本的期望值（或样本的平均数）反映了一组数据的平均水平； （2）样本众数的定义：样本数据中出现次数最多的数，称为样本的众数； （3）样本中位数的定义：样本数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数，称为样本的中位数； （4）样本标准差的定义：样本各数与平均数差的平方和的平均数的算术平方根，称为样本的标准差，样本标准差反映了样本数据的离散程度； （5）样本方差的定义：样本标准差的平方，称为样本方差，样本方差反映了样本数据的离散程度； 2、基本统计指标的求法： （1）样本期望值（也称样本平均数）的求法：=； （2）样本标准差的求法：s=； （3）样本方差的求法：=； 3、用样本的统计指标估计总体的相应指标： （1）用样本期望值（或样本平均数）估计总体期望值（或总体平均数）的基本方法：一般是用样本期望值（或样本平均数）直接代替估计的总体期望值（或总体平均数）； （6）用样本方差（或标准差）估计总体方差（或标准差）的基本方法：一般是用样本方差（或样本标准差）直接代替估计的总体方差（或总体标准差）。 【探导考点】 考点1频率分布直方图及运用：热点①频率分布直方图的作法；热点②频率分布直方图的运用； 考点2茎叶图及运用：热点①茎叶图的作法；热点②茎叶图的运用； 考点3用样本指标估计总体指标：热点①用样本期望值（或样本平均数）估计总体期望值（或总体平均数）；热点②用样本方差（或样本标准差）估计总体方差（或总体标准差）。 【典例解析】 【典例1】解答下列问题： 1、某校随机抽取100名同学矩形“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这100名同学的得分在[50，100]内，按得分分成[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图，则这100名同学的得分的中位数为（ ） A 72.5 B 75 C 77.5 D 80 2、某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽 0.030 y 频率