6.2 平面向量的运算（10种题型）讲义-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.2 平面向量的运算 1、向量加法的概念及三角形法则： 已知非零向量，在平面内取任意一点，作，则向量叫做与的和，记作，即。 求两个向量和的运算，叫做向量的加法。这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。对于零向量与任意向量，我们规定。 2、向量加法的平行四边形法则： 以同一点为起点的两个已知向量，以为邻边作平行四边形，则以为起点的向量（是平行四边形的对角线）就是向量与的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。 3、向量加法的运算律： ①交换律：。 ②结合律：。 4、向量的三角形不等式： ①当向量与不共线时，的方向与不同，则。 ②当与同向时，，，同向，则。 ③当与反向时，若，的方向与相同，则；若，的方向与相同，则。一般地，我们有。 5、相反向量： 我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作。我们规定，零向量的相反向量仍是零向量。由两个向量和的定义易知，即任意向量与其相反向量的和是零向量。这样，如果互为相反向量，那么。 6、向量的减法： 向量加上的相反向量，叫做与的差，即。 求两个向量差的运算叫做向量的减法。 7、几何意义： 已知向量，在平面内任取一点，作，，则。即可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义。 8、向量的数乘运算： 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下：①；②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反。当时，。 9、向量数乘的运算律： 设为实数，结合律：。 分配律：；。 特别地，，。 10、向量的线性运算： 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。向量线性运算的结果仍是向量。对于任意向量，以及任意实数，，，恒有。 11、向量共线的条件： ①当向量时，与任一向量共线。 ②事实上，对于向量（），，如果有一个实数，使，那么由向量数乘的定义可知与共线。反过来，已知向量与共线，且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同方向时，有；当与反方向时，有。 12、向量共线的性质定理： 向量（）与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使。 根据这一定理，设非零向量位于直线上，那么对于直线上的任意一个向量，都存在唯一的一个实数，使。也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示。 13、向量的夹角： 已知两个非零向量，，是平面上的任意一点，作，，则（）叫做向量与的夹角。显然，当时，与同向；当时，与反向。 14、垂直： 如果与的夹角是，我们说与垂直，记作。 15、向量数量积： 已知两个非零向量与，它们的夹角是，我们把数量叫做向量与的数量积（或内积），记作，即。规定：零向量与任一向量的数量积为。 16、投影向量： 设，是两个非零向量，，，我们考虑作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量。 在平面内任取一点，作，，过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量。设与方向相同的单位向量为，与的夹角为，则 。 17、平面向量数量积的性质： 设，是非零向量，它们的夹角为，是与方向相同的单位向量，则 ①。 ②。 ③当与同向时，；当与反向时，。 特别地或。 ④。（）。 ⑤。 ⑥。 18、向量数量积的运算律： ①交换律：。D A C B ②数乘结合律：。 ③分配律：。 19、三点共线定理、三角形中线向量定理、三角形重心公式： 对于平面内任意三点、、，为平面内不同于、、的任意一点，、、三点共线的充要条件是：存在实数，，使，其中。 在△中，若点是边的中点，则中线向量，反之亦正确。 在△中，已知是△的重心，则。 【题型1】向量的加法运算 1．（　　） A． B． C． D． 2．在平行四边形ABCD中，等于（　　） A． B． C． D． 3．已知AD为△ABC的中线，则（　　） A． B． C． D． 4．化简后等于（　　） A． B． C． D． 5．设O为平行四边形ABCD的对角线的交点，则（　　） A． B． C． D． 【题型2】向量的减法运算 1．在四边形ABCD中，等于（　　） A． B． C． D． 2．在△ABC中，D为BC的中点，则（　　） A． B． C． D． 3．在平行四边形ABCD中，（　　） A． B． C． D． 4．已知矩形ABCD的对角线相交于点O，则（　　） A． B． C． D． 5．已知线段AB