专题5.6 函数y=Asin(ωx+φ）及其应用-2023-2024学年高一数学知识•考点培优讲义（人教A版2019必修第一册）

专题5.6 函数y=Asin(ωx+φ）及其应用 知识点一 y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 1.匀速圆周运动的数学模型 如图，点P从P0(t＝0)开始，逆时针绕圆周匀速运动(角速度为ω)，则点P距离水面的高度H与时间t的函数关系式为H＝rsin(ωt＋φ)＋h. 2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示： 提醒：用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的简图，精髓是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象，其中相邻两点的横向距离均为. 知识点二 图象变换 1.由y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的图象 【特别提醒】 (1)两种变换的区别 ①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是 (ω＞0)个单位长度． (2)变换的注意点 无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x而言的，即图象变换要看“自变量x”发生多大变化，而不是看角“ωx＋φ”的变化． 2.常用结论 （1）函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”． （2）由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度． 知识点三 三角函数的应用 (1)如果某种变换着的现象具有周期性，那么就可以考虑借助三角函数来描述． (2)在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)表示，其中A>0，ω>0.描述简谐运动的物理量，大都与这个解析式中的常数有关： y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)表示一个简谐运动 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f ＝＝ ωx＋φ φ 考点01 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换 【典例1】（2022上·青海西宁·高三统考期末）要得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【典例2】（2023·全国·高一随堂练习）不画图，写出下列函数的振幅、周期和初相，并说明这些函数的图象可以由正弦曲线经过怎样的变换得到： (1)； (2)； (3)； (4)． 【总结提升】 (1)注意平移变换时，当自变量x的系数不为1时，要将系数先提出，对称变换要注意翻折的方向；三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换． (2)“异名”函数图象的平移变换问题的关键是：借助诱导公式，将“异名”函数先化为“同名”函数，可以将“已知函数名称”化为 “所求函数名称”，也可将“所求函数名称”转化为“已知函数名称”． 考点02 作给定区间内的图象 【典例3】（2023·全国·高一课堂例题）在同一直角坐标系中画出，，一个周期内的图象，分析它们之间的变化关系． 【典例4】（2023·全国·高一随堂练习）画出下列函数在一个周期上的图象，并讨论其性质： (1)； (2)． 【总结提升】 根据“五点法”作给定区间内的函数图象的步骤：(1)根据所给出的x的所在区间，确定ωx＋φ所在的区间；(2)在ωx＋φ所在的区间内，找出“特征点(五点)”，并根据ωx＋φ所在特征点位置，确定出x的值；(3)根据x，f(x)进行描点，并用光滑曲线连接起来即可． 考点03 由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 【典例5】（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）函数的部分图像如图所示，则，的值分别是（    ） A．2， B．2， C．2， D．4， 【典例6】（2023下·广东湛江·高一雷州市第一中学校考阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，    (1)求的解析式； (2)当时，求的最值． 【总结提升】 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的解析式的步骤 (1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝. (2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝. (3)求φ，常用方法为代入法，即把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入． 考点04 函数y＝Asin(ωx＋φ)的零点 【典例7】【多选题】（2023上·湖南衡阳·高一校考期末）已知函数的两个相邻零点间的距离为，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数在区间上单调递减 C． D．函数在区间内的零点个数为3 【典例8】（2023上·重庆铜梁·高三校联考阶段练习）已知函数的图像上相邻两条对称轴的距离是，的