数列求和方法 讲义-2024届高三数学一轮复习

数列求和方法 要点1　分组求和法 把一个数列的每一项分成多项的和，将其转化为等差、等比或特殊数列，再利用公式求和．通项公式为“等差数列＋等比数列”的数列可采用此法． 要点2　裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．利用裂项相消法求和的注意事项： (1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项． (2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：若{an}是等差数列，则＝，＝. 要点3　常见的裂项求和的形式 (1)＝； (2)＝； (3)＝－； (4)＝； (5)＝－； (6)ln＝ln(n＋1)－ln n. 要点4　倒序相加法 如果一个数列{an}中，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法． 要点5　错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用错位相减法求解． 典型题目： 含参数的求和问题 例　求数列1，a，a2，…，an，…的前n项和． 1. (1)求和：Sn＝1＋＋(1＋＋)＋…＋. (2)已知an＝(－1)n·n，求数列{an}的前n项和Sn. 2.　(1)求和： ①Sn＝＋＋…＋； ②Sn＝＋＋…＋. (2)已知数列的前n项和Sn＝9，求n的值． 3．已知数列满足，，，数列是等差数列，且，． （1）求数列，的通项公式 （2）设，求数列的前项和． 4. 记数列的前项和为，已知 （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 5. 设数列{an}的前n项和为Sn＝2n2，{bn}为等比数列，且a1＝b1，b2(a2－a1)＝b1. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和Tn. 6. 已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn. (1)求an及Sn； (2)令bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn. 7. 已知等差数列的前项和为，，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，数列的前项和，求证：． 8. 求和：Sn＝1×＋3×＋5×＋…＋. 9. 设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项． (1)求{an}的公比； (2)若a1＝1，求数列{nan}的前n项和． 10. 已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4. (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)求数列{a2nb2n－1}的前n项和(n∈N*)． . 11. 已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－1，数列{bn}的前n项和Qn＝2bn－2. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)设cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数列求和方法--参考答案 要点1　分组求和法 把一个数列的每一项分成多项的和，将其转化为等差、等比或特殊数列，再利用公式求和．通项公式为“等差数列＋等比数列”的数列可采用此法． 要点2　裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．利用裂项相消法求和的注意事项： (1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项． (2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：若{an}是等差数列，则＝，＝. 要点3　常见的裂项求和的形式 (1)＝； (2)＝； (3)＝－； (4)＝； (5)＝－； (6)ln＝ln(n＋1)－ln n. 要点4　倒序相加法 如果一个数列{an}中，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法． 要点5　错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用错位相减法求解． 典型题目： 含参数的求和问题 例　求数列1，a，a2，…，an，…的前n项和． 解：当a＝0时，Sn＝1， 当a＝1时，Sn＝n， 当a≠0，且a≠1时，Sn＝， ∴Sn＝ 1. (1)求和：Sn＝1＋＋(1＋＋)＋…＋. (2)已知an＝(－1)n·n，求数列{an}的前n项和Sn. 解：　若n是偶数，则Sn＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋(－5＋6)＋…＋[－(n－1)＋n]＝. 若n是奇数，则Sn＝(－1