2.3 确定二次函数的表达式第1课时（同步课件）-2023-2024学年九年级数学下册同步精品课堂（北师大版）

北师大版 数学 九年级下册 第1课时 第二章 二次函数 3 确定二次函数的表达式 学习目标 1.会利用待定系数法求二次函数的表达式。（重点） 2.能根据已知条件选择合适的二次函数的表达式。（难点） 复习回顾 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 (＞0) 开口向上，越大开口越小 关于直线=对称 坐标（,） =时， =时， 当＜，随的增大而减小； 当＞随的增大而增大。 当，随的增大而增大； 当＞，随的增大而减小。 (＜0) 开口向下，越大开口越小 3.我们在用待定系数法确定一次函数y=kx+b(k,b为常数，k≠0)的关系式时，通常需要 个独立的条件.确定反比例函数（k≠0)关系式时，通常需要 个条件. 一、创设情境，引入新知 1.二次函数表达式的一般形式是什么? 二次函数表达式的顶点式是什么? y=ax²+bx+c (a,b,c为常数,a ≠0) y=a(x-h)2+k (a ≠0) 2 1 思考: 如果确定二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0）的关系式时，通常又需要几个条件？ 一名学生推铅球时，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系如图所示，其中（4，3）为图象的顶点，你能求出y与x之间的关系式吗？ 二、自主合作，探究新知 探究：确定二次函数表达式 分析：图象为一条抛物线，因此y是x的二次函数，且已知顶点坐标，因此可以设顶点式y=a(x-h)2+k (a ≠0)，图象过点（10，0），将其代入表达式即可求出待定系数a. 二、自主合作，探究新知 解：∵(4，3)是抛物线的顶点坐标， ∴设二次函数表达式为y＝a(x－4)2+3. 把点(10，0)的坐标代入y＝a(x－4)2+3，解得a＝－， ∴铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数表达式为y＝－(x－4)2+3. 知识要点 二、自主合作，探究新知 想一想：确定二次函数的表达式需要几个条件？与同伴进行交流。 确定二次函数的关系式y=ax²+bx+c (a,b,c为常数,a ≠0)，通常需要3个条件; 当知道顶点坐标（h,k）和图象上的另一点坐标两个条件时，用顶点式 y=a(x-h)2+k 可以确定二次函数的关系式. 二、自主合作，探究新知 典型例题 例1：已知二次函数y=ax2+c的图象经过点（2，3）和（－1，－3），求这个二次函数的表达式. 解：将点（2，3）和（－1，－3）分别代入表达式y=ax2+c中，得 a=2, c=－5. 解这个方程组，得 3=4a+c, －3=a+c, ∴所求二次函数表达式为：y=2x2－5. 分析：确定二次函数y＝ax2+c的表达式，只需确定a,c两个系数的值，需要知道两个点坐标，因此此题只要把已知两点坐标代入即可. 二、自主合作，探究新知 (1)形如y＝ax2的二次函数，因为只有一个未知系数a，所以只需要知道图象上一个点的坐标. (2)形如y＝a(x-h)2，y＝ax2+c和y＝ax2+bx的二次函数，有两个未知系数，所以需要知道图象上两个点的坐标. (3)形如y＝a(x-h)2+k的二次函数，如果已知二次函数的顶点坐标，那么再知道图象上的一个点的坐标就可以确定二次函数的表达式. 方法归纳 解：∵二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，所以设二次函数表达式为y＝ax2+bx+1， ∵经过点（2，5）和（-2，13）， ∴ 解得： ∴这个二次函数的表达式为y＝2x2-2x+1. 二、自主合作，探究新知 做一做：已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，且经过点（2，5）和（-2，13），求这个二次函数的表达式. 如何设函数表达式呢？ 分析：此题顶点坐标未知，因此可以设一般式y＝ax2+bx+c，因为二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，即c＝1，因此只有两个未知系数a和b，又已知两点的坐标，代入即可求出表达式. 二、自主合作，探究新知 想一想：在什么情况下，已知二次函数图象上两点就可以确定它的表达式？ 二次函数可化成y=a(x－h)2+k时，顶点是（h，k），如果已知顶点坐标，那么再知道图象上另一点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式. 已知二次函数y=ax²+bx+c中一项系数，再知道图象上两个点的坐标，也可以确定这个二次函数的关系式. 二、自主合作，探究新知 例2：一个二次函数的图象经点 (0, 1)，它的顶点坐标为(8,9)，求这个二次函数的表达式. 解：∵这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9)， ∴可以设函数表达式为 y=a(x-8)2+9. 又∵它的图象经过点(0 ,1)，可得 1=a(0-8)2+9. 解得