4.2.2等差数列的前n项和公式(第2课时)课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2.2等差数列的前n项和公式 复习回顾 1、等差数列{an}的前n项和公式： 2、求数列前n项和的一种方法： “倒序相加”法 随堂练习 1、已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n，第k项满足5<ak<8，则k=( ) A、9 B、8 C、7 D、6 B 2、在等差数列{an}中，已知公差 ，且a1+a3+a5+…+a99=60，a2+a4+a6+…+a100=( ) A、85 B、145 C、110 D、90 A 3、等差数列{an}的前n项的和为Sn，已知am-1+am+1-am2=0，S2m-1=38，则m=_____. 10 例题解析 1、某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多两个座位. 问第1排应安排多少个座位？ 解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成等差数列{an}，其前n项和为Sn. 由题意知，数列{an}是一个公差为2的等差数列，且S20=800 可得a1=21 因此，第1排应安排21个座位 例题解析 2、已知数列{an}的前n项和为 ，求这个数列的通项公式，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？ 当n=1时也满足①式. an-an-1=2 随堂练习 4、已知数列{an}的前n项和为 ，求这个数列的通项公式. 当n=1时不满足①式. 探究新知 探究：如果一个数列{an}的前n项和为Sn=pn2+qn+r，其中p、q、r为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项和公差是什么？ (1)若r=0，则这个数列一定是等差数列.an=2pn+(q-p) (2)若r≠0，则这个数列一定不是等差数列. 探究新知 则有Sn=An2+Bn(A，B为常数) 等差数列前n项和公式的函数特征： 当A≠0(即d≠0)时，Sn是关于n的二次函数式，即Sn=An2+Bn的图象是抛物线y=Ax2+Bx上的一群孤立的点 当d=0时，{an}是一个常数列，Sn=na1 当d≠0时，Sn是一个常数项为零的关于n的二次型函数 即任何一个等差数列前n项的和都可以写成Sn=An2+Bn(A，B为常数)的形式 (过原点) 例题解析 3、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=10，公差d=-2，则Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值n时的值；若不存在，请说明理由. =-n2+11n 解：由题意知，a1=10，d=-2， Sn关于n的图象是一条开口向下的抛物线上的一些点. 所以，当n=5或6时，Sn最大，最大值为30 函数思想 例题解析 3、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=10，公差d=-2，则Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值n时的值；若不存在，请说明理由. 又由an=10+(n-1)×(-2)=-2n+12，可知： 另解：由d=an+1-an=-2<0，得an+1<an， 当n<6时，an>0； 所以{an}是递减数列 当n=6时，an=0； 当n>6时，an<0； 所以，S1<S2<…<S5=S6>S7>… 即当n=5或6时，Sn最大. 所以Sn的最大值为30 从等差数列的通项公式出发来分析 归纳提升 (1)利用an： 当a1＞0，d＜0，数列前面有若干项为正，此时所有正项的和为Sn的最大值 可由an≥0，且an＋1≤0，求得n的值； 当a1＜0，d＞0，数列前面有若干项为负，此时所有负项的和为Sn的最小值 可由an≤0，且an＋1≥0，求得n的值. 等差数列前n项和的最值问题有两种常用的方法： (2)利用Sn： 由 利用二次函数配方法求得最值时n的值. 随堂练习 5、已知等差数列{an}中，a1=13且S3=S11，求n取何值时，Sn取最大值 故当n＝7时，Sn取最大值49. 解：(法一)设公差为d. 由S3＝S11得 =-n2+14n =-(n-7)2+49 配方法 随堂练习 5、已知等差数列{an}中，a1=13且S3=S11，求n取何值时，Sn取最大值 解：(法二)设公差为d. 由S3＝S11得 对称轴法 ∵a1=13>0，d<0，则Sn的图象如图所示 所以图象的对称轴为 7 n 11 3 Sn 故当n＝7时，Sn取最大值49. 随堂练习 5、已知等差数列{an}中，a1=13且S3=S11，求n取何值时，Sn取最大值 解：(法