3.1.1椭圆及其标准方程教学设计-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.1.1 椭圆及其标准方程教学设计 一、教学目标 1.通过实验发现椭圆的几何特征，理解椭圆的定义；推导椭圆的标准方程，总结建立曲线方程的一般步骤；理解椭圆标准方程中a、b、c具体的几何含义. 2.通过引导学生动手尝试画图、发现椭圆的形成过程，进而归纳出椭圆的定义，培养学生观察、抽象、归纳、概括问题的能力，重点提升学生直观想象和数学抽象等核心素养. 3.通过经历椭圆标准方程的推导,对学生进行数学思想方法的渗透，培养学生具有利用数学思想方法分析和解决问题的意识，同时增强学生战胜困难的意志品质，并体会数学的简洁美、对称美. 二、教学内容 本节课的教学内容是椭圆的定义及其标准方程，在此之前，学生学习了直线的方程、圆的方程及曲线与方程等知识，初步学会了建立直角坐标系求动点的轨迹方程等知识。但学生对“曲线与方程”的内在联系(数形结合思想的具体表现)仅在“圆的方程”一节中有过一次感性认识，并未真正有所感受。 椭圆及其标准方程是整个解析几何部分的重要内容，从知识层面讲，它是运用坐标法求动点轨迹方程并研究曲线性质的首次演练，从方法上讲，它为后续研究其他圆锥曲线提供示范，由此可见，本部分内容和过程中体现的方法都起着承上启下的重要作用，是学习好解析几何的重要基础和关键章节。 通过本节学习，学生一方面认识到椭圆与圆的区别与联系，另一方面也为学生利用方程研究椭圆的几何性质、类比椭圆的研究过程和方法学习双曲线、抛物线奠定基础。 三、学情分析 椭圆虽然是生产生活中常见的曲线，但对椭圆几何特征的探究与发现是个难点，因为很难由椭圆的形状想到椭圆的定义.在推导椭圆标准方程时，如何建系、如何选用适当的参数、如何化简含两个根号的式子、如何理解曲线与方程的辩证关系、如何理解引进字母的合理性与必要性以及的几何意义，这些都对学生有挑战性. 四、教学方法 引导探究式教学方法，以问题串的形式引导学生主动体验、积极合作、自主建构，形成师生互动的教学氛围.通过有结构、有逻辑的系统学习，逐步形成数学学科观念、数学思维方式和探究技能，促进数学知识和技能的持续结构化，使学生的理性思维不断走向成熟． 本节课应先充分调动学生的想象，挖掘积极因素，激发学生兴趣，结合圆的定义，发明创造新的曲线，然后动手操作，教师动画演示，直观认识新发明的曲线，通过对定义的获得、建系方式的选取和方程的推导化简，使学生经历猜测、观察、实验、推理、交流、反思等理性思维，加强运算能力，提高他们提出问题、分析问题和解决问题的能力，通过对定义的概括总结，提高学生数学抽象、逻辑推理等数学素养。 五、教学过程 回顾上节课我们学习的求曲线方程的一般步骤： 建系——设点——列式——化简——证明（可省略） 1、 设置情境，引入课题 引例1求到两个定点，的距离之和为10的动点的轨迹方程. 设，则有 化简，得 ，即 引例2求到两个定点，的距离之和为的动点的轨迹方程. 设，则有 化简，得 . 由于，则. 提问 这样的曲线方程我们以前见过吗？学过吗？这样的动点轨迹究竟是一个什么样的图形呢？下面我们来做实验. 【设计意图】引导学生探索运算方法，强调根据代数式的特点，运用运算性质简化运算、得出正确结果的重要性,在提高学生运算技巧的过程中发展数学运算、逻辑推理等素养. 2、 合作探究，形成概念 取一条定长的绳子，将其两端分别固定在图板的两个定点，上，用笔尖把细绳拉紧并运动一周，在板上慢慢移动看看画出的图形是什么？ 思考1 当两定点慢慢靠近到重合，绳长保持不变，此时画出的图形是什么？ 思考2 若绳长等于两定点间距离，得到什么图形？绳长能小于两图钉间距离吗？ 1 当到两定点的距离之和等于两定点间的距离时，动点的轨迹是线段； 2 当到两定点的距离之和小于两定点间的距离时，动点的轨迹是不存在. 【设计意图】以活动为载体，让学生在“做”中学数学,通过画图，给学生一个动手实验的机会，让学生经历知识的形成过程，积累感性经验，通过实践思考，为抽象椭圆概念、展开后续内容做好必要准备. 3、 总结归纳，给出定义 请你归纳，在平面内，运动的动点满足什么条件画出的轨迹就是椭圆？ 动点到两定点的距离之和是一个常数；动点到两定点的距离之和大于两定点之间的距离. 给出定义：平面内与两定点、的距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距。 【设计意图】引导学生通过观察椭圆的几何特征，归纳抽象出椭圆的定义，完成本节课第一次数学抽象，即:由从椭圆具体的几何图形到椭圆定义的文字性描述. 4、 由形及数，建系推导 问题1 学习完椭圆的概念后，下一步就要用坐标法建立椭圆的方程，类比利用圆的对称性建立圆的方程，根据椭圆的几何特征，如何建系能使方程更简洁？ 【师生活动】以对称原则建立的坐标系下的曲线方程更简洁. 以两定