导数法、判别式法在圆锥曲线切线问题中的应用举例讲义-2024届高三数学一轮复习

8 / 8 导数法、判别式法在圆锥曲线切线问题中的应用举例 【方法概述】 判别式法是针对二次曲线问题特有的方法. 导数的几何意义是曲线切线的斜率. 在解决圆锥曲线有关切线问题时，判别式法和导数法可以大显身手. 本文通过对曲线有关切线具体问题的解决，体现两种方法的使用特点和注意事项.并通过两种方法的优劣比对，以期优化解题过程. 【典例精析】 1. 抛物线上一点到直线的距离最小的点的坐标是 A. B. C . D. 解法一（导数法）： 方程两边对求导得，令，在方程中令，所以所求的点为，选B. 解法二（判别式法）： 设抛物线与直线的切线为 联立及消去得， 由得,所以所求的点为选B. 2. 已知抛物线C：，M为x轴负半轴上的动点，MA，MB为抛物线的切线，A，B分别为切点，则的最小值为 . A. B. C . D. 解法一（导数法）： 设A(t2，t)，则B(t2，-t)，方程两边对求导得， 所以，切线MA的 斜率， 切线MA的方程为， 令， 从而， 所以当时，的最小值为. 解法二（判别式法）： 设M（t,0）,设切线，代入得，由得，而， 故所以 所以当时，的最小值为. 3. 抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，又点，则的最小值为 A. B. C . D. 解法一（导数法）： 如图，AN为抛物线的准线,PN垂直于AN，则,当AP与抛物线相切时最大，从而有最小值. 设切点,方程两边对求导得，所以，切线AP的斜率，从而切线AP的方程为,将代入得,所以斜率,从而选B. 解法二（判别式法）： 设切线AP的方程为，代入得，所以，解得，所以，从而选B. 4. 在平面直角坐标系中，定点M（1，0），两动点A，B在双曲线的右支上，则的最小值是 ． A. B. C . D. 解法一（导数法）： 由图知当MA，MB与双曲线相切时，最大从而最小． 此时A，B两点关于轴对称， ，对方程两边求x的导数得，所以，设点，则，切线MA的方程为，即，而，所以MA的方程为3，将M（1，0）代入得，从而， 解法二（判别式法）： 设切线MA的方程为，代入得，所以，整理得，，从而选D. 5. 已知抛物线和定点M(0,1)，设过点M的动直线与抛物线C交于A,B两点，抛物线C在A,B处的切线的交点为N,若N在以AB为直径的圆上，求p的值. 解法一（导数法）： 显然直线AB的斜率存在，设其方程为：，设，，由消去得，，对方程两边求x的导数得，N在以AB为直径的圆上则. 解法二（判别式法）： 显然直线AB的斜率存在，设其方程为：，设，，由消去得，， 设P(x0，y0)是抛物线上任一点，设过点P的抛物线的切线方程为，由消去得，由 ，得，从而，，N在以AB为直径的圆上则 6. 已知抛物线,不过坐标原点O的直线l与抛物线C交于点A,B两点.设过点A且与点C相切的直线为l1，过点B且与点C相切的直线为l2.当l1与l2交于点P（1，-2）时，求直线l的方程. 解法一（导数法）： 设点 对求导得 直线的方程为 即而 的方程为 同理直线的方程为 将点代入方程得 表明满足方程 直线的方程为. 解法二（判别式法）： 设过点P的切线方程为，代入得（*），所以整理， 代入（*）得, 从而直线AB的斜率，其方程为. 7. 如图，已知抛物线的焦点在抛物线上． (1)求抛物线的方程及其准线方程； (2)过抛物线上的动点作抛物线的两条切线，切点为.若的斜率乘积为m，且，求的取值范围. 解法一（导数法）： (1)由题设，抛物线的焦点为，所以故的方程为，其准线方程为. (2)设，设抛物线上任一点为， 对方程两边求导得，则过点的切线方程为，将代入整理得，所以，即，由得，所以. 解法二（判别式法）： (1) 同上(2)任取点，设过点P的C2的切线方程为，代入得，由，化简得，记斜率为，则，因为，所以, . 8. 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(1，0)，右顶点为A，且|AF|＝1. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若动直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且只有一个交点P，且与直线x＝4交于点Q，是否存在点M(t，0)使·＝0成立？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 解法一（导数法）：