6.2.3 组合（教学课件）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）

1 第6章《计数原理》 人教A版2019选择性必修第三册 6.2.3 组合 1. 理解组合、组合数的概念及组合和排列之间的区别与联系； 2. 能利用计数原理推导组合数公式，并熟练掌握组合数公式及组合数的性质，能运用组合数的性质化简、计算、证明； 3. 能运用排列数公式、组合数公式和计数原理解决一些简单的应用问题，提高数学应用能力和分析问题、解决问题的能力. 学习目标 从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动，有多少种不同的选法?这一问题与6.2.1节的问题1有什么联系与区别? 探究 在6.2.1节问题1的6种选法中，存在“甲上午、乙下午”和“乙上午、甲下午”2种不同顺序的选法，我们可以将它看成是先选出甲、乙2名同学，然后再分配上午和下午而得到的．同样，先选出甲、丙或乙、丙，再分配上午和下午也都各有2种方法．而从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动，就只需考虑将选出的2名同学作为一组，不需要考虑他们的顺序．于是，在6.2.1节问题1的6种选法中，将选出的2名同学作为一组的选法就只有如下3种情况：． 甲乙，甲丙，乙丙． 环节一：创设情境，引入课题 将具体背景舍去，上述问题可以概括为： 从3个不同元素中取出2个元素作为一组，一共有多少个不同的组? 这就是我们要研究的问题． 环节二：观察分析，感知概念 思考：你能说一说排列与组合之间的联系与区别吗? 但排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关．只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的；而两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的．例如，在上述探究问题中，“甲乙”与“乙甲”的元素完全相同，但元素的排列顺序不同，因此它们是相同的组合，但不是相同的排列．由此，以“元素相同”为标准分类，就可以建立起排列和组合之间的对应关系，如图6.2-7所示． 甲乙 甲丙 甲乙，乙甲 甲丙，丙甲 乙丙 乙丙，丙乙 组合 排列 环节三：抽象概括，形成概念 由此，6.2.1节问题1的6个排列可以分成每组有2个不同排列的3个组，也就是上面探究问题的3个组合． 思考：校门口停放着9辆共享自行车，其中黄色、红色和绿色的各有3辆．下面的问题是排列问题，还是组合问题? （1）从中选3辆，有多少种不同的方法? （2）从中选3辆给3位同学，有多少种不同的方法? 组合问题 排列问题 环节四：辨析理解，深化概念 例5 平面内有A，B，C，D共4个点 （1）以其中2个点为端点的有向线段共有多少条? （2）以其中2个点为端点的线段共有多少条? 分析：（1）确定一条有向线段，不仅要确定两个端点，还要考虑它们的顺序，是排列问题； （2）确定一条线段，只需确定两个端点，而不需考虑它们的顺序，是组合问题． 环节五：课堂练习，巩固运用 例5 平面内有A，B，C，D共4个点 （1）以其中2个点为端点的有向线段共有多少条? （2）以其中2个点为端点的线段共有多少条? 利用排列和组合之间的关系，以“元素相同”为标准分类，你能建立起例5(1)中排列和(2)中组合之间的对应关系吗?进一步地，能否从这种对应关系出发，由排列数求出组合的个数? 排列问题 组合问题 若交换某两个元素的位置对结果有影响，则是排列问题，即排列问题与选取的顺序有关. 若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取的顺序无关. 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合（combination）. 1.组合的定义？ 2.如何判断一个计数问题是排列问题还是组合问题？ 环节六:归纳总结，反思提升 3.排列、组合的区别与联系： 共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素” 不同点: 对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序排成一列”， 而组合“与顺序无关”. (1)判断是否为组合问题;(2)是否分类或分步;(3)根据组合的相关知识进行求解. 4.求一个组合问题的所有组合个数的基本方法： 环节七：目标检测，作业布置 完成教材：第26页习题6.2第4,7题. 1.甲、乙、丙、丁4个球队举行单循环赛，列出： （1）所有各场比赛的双方； （2）所有冠亚军的可能情况. （1）（甲、乙），（ 甲、丙）， （甲、丁），（ 乙、丙）， （乙、丁）， （丙、丁）； 冠军 甲 乙 甲 丙 甲 丁 乙 丙 乙 丁 丙 丁 亚军 乙 甲 丙 甲 丁 甲 丙 乙 丁 乙 丁 丙 （2）所有冠亚军的可能情况有： 练习 第22页 2.已知平面内A，B，C，D这4个点中任何3个点都不在一条直线上，写出其中每3点为顶点的所有三角形. 3．现有1，3，7，13这4个数． （1）从这4个数中任取2个相加，可以得到多少个不相等的和? （2）从这4个数中任取2个相减，可以得到多