数列09 数列不等式能成立和恒成立三大题型-2023-2024学年玩转高中数学之数列同步讲练系列讲版（人教B版2019选择性必修第三册）

数列09 数列不等式能成立和恒成立三大题型 【知识网络】 【三大题型】 类型一：证明不等式恒成立 【例1-1】结合函数的单调性进行证明 数列为等差数列，为等比数列，公比． (1)求的通项公式； (2)证明：恒成立. 【例1-2】结合放缩证明不等式恒成立 已知正项数列中，，前项和为，且__________.请在①②中任选一个条件填在题目横线上，再作答：①，②. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：. 总结升华 因为数列可以看做定义域为正整数的特殊函数，因此在很多解题思路上可以结合函数的思想来进行解决，如数列的单调性、最值以及不等式等。 放缩法分两种：先放缩再求和，先求和再放缩。记住常见的放缩形式是解决问题的关键。 【变式1-1】（已知公差不为0的等差数列的首项，且成等比数列，记的前项和为. (1)求的通项公式及; (2)记，证明:. 【变式1-2】已知公差大于0的等差数列的前项和，且满足：. (1)求数列的通项公式； (2)若数列是等差数列，且，求非零常数； (3)若（2）中的的前项和，求证：. 类型二：与数列和有关的恒成立、能成立求参数值 【例2-1】知数列满足：. (1)求数列的通项公式． (2)记，数列的前项和．若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【例2-2】已知数列满足，，记数列的前n项和为．若对于任意，不等式恒成立，则实数k的取值范围为 ． 总结升华 数列数特殊的函数，数列恒成立或能成立问题就可以转化为函数的恒成立和能成立问题（注意定义域）。因此数列求参数值或者范围的问题就可以转化为求函数最值的问题。再做题中一定要注意函数的定义域。 【变式2-1】已知正项数列的前n项和为，；数列是递增的等比数列，公比为q，且，的等差中项为10，，的等比中项为8． (1)求，的通项公式； (2)设，为的前n项和，若能成立，求实数的最大值． 【变式2-2】已知数列满足，且点在直线上 (1)求数列的通项公式； (2)数列前项和为，求能使对恒成立的的最小值． 【变式2-3】已知等差数列满足，，其中为的前项和，递增的等比数列满足：，且，，成等差数列. (1)求数列、的通项公式； (2)，的前项和为，若恒成立，求实数的最大值. 【变式2-4】已知数列满足，数列的首项为2，且满足 (1)求和的通项公式 (2)记集合，若集合的元素个数为2，求实数的取值范围． (3)设，证明：． 类型三：与数列项有关的恒成立、能成立求参数值 【例3-1】设数列的前n项和为，且．若对恒成立，则的取值范围为 ． 【例3-2】已知数列的通项公式为.若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 总结升华 做这种题的关键是“转化” 思路一：可以转化为不等式组，然后进行求解； 思路二：可以转化为函数，利用函数的最值进行求解。 【变式3-1】已知数列中，，且，为其前项的和． (1)求数列的通项公式； (2)求满足不等式的最小正整数的值； (3)设，，其中，若对任意，，总有成立，求的取值范围． 【变式3-3】已知数列满足：，． (1)求证是等比数列，并求数列的通项公式； (2)求使不等式成立的所有正整数m，n的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数列09 数列不等式能成立和恒成立三大题型 【知识网络】 【三大题型】 类型一：证明不等式恒成立 【例1-1】结合函数的单调性进行证明 数列为等差数列，为等比数列，公比． (1)求的通项公式； (2)证明：恒成立. 【答案】（1）根据等差数列以及等比数列的通项公式列方程组，求得公差和公比，即可求得答案； （2）利用错位相减法求得=，函数f（x）=＞0，即可证明结论. （1）由题意知数列为等差数列，为等比数列， 设的公差为d，则或（舍去）， 故，； （2）证明：令， 则， 两边乘以得，， 错位相减整理得，， 则，由于，， 所以，所以恒成立. 【例1-2】结合放缩证明不等式恒成立 已知正项数列中，，前项和为，且__________.请在①②中任选一个条件填在题目横线上，再作答：①，②. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：. 【答案】（1）若选①，通过因式分解化简递推公式，得是公差为2的等差数列，结合，可求数列的通项公式； 若选②，时，求出，利用公式，化简后证得数列为等差数列，公差，可求数列的通项公式； （2）利用放缩和裂项相消法求和证明不等式. （1）若选①: 由，得， 即， 因为为正项数列，所以，是公差为2的等差数列， 由，得； 若选②：，当时，， 两式作差得：，则， 两式作差得， 即，所以数列为等差数列， 时，，可