专题04 指数函数与对数函数-2023-2024学年高一数学高频考点一网打尽系列（期末复习专用）（人教A版2019必修第一册）

目 录 基础巩固篇 4.1指数 3 4.2指数函数 5 4.3对数 9 4.4对数函数 12 4.5函数的应用（二） 15 重难点突破篇 1.函数零点分布的问题. 20 2.嵌套函数的零点问题 22 终极押题篇 1.指数函数与对数函数押题卷 23 本章总结 基础巩固篇 4.1 指数★★★ Ⅰ考情分析 1.理解n次方根的概念和性质,理解分数指数幂、实数指数幂的意义,提升数学抽象素养. 2.掌握根式与分数指数幂的互化、简单根式的化简,会利用实数指数幂运算法则进行简单的指数幂的运算,提升数学运算素养. Ⅱ知识点总结 一、n次方根 1.定义：一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且 2.性质 （1）当n是奇数时，，的值仅有一个，记为； （2）当n是偶数，①时，的有两个值，且互为相反数，记为；②时，不存在 二、根式 1.定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 2.性质：（，且） a； 三、分数指数幂 1.分数指数幂的意义 （1）正分数指数幂：规定： （2）负分数指数幂：规定： （3）性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 四、无理数指数幂 一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围． 五、实数指数幂的运算性质 ①． ②． ③． 题型训练 一、单选题 1．（    ） A． B． C． D． 2．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则等于（    ） A．6 B．12 C．14 D．16 4．已知，则（    ） A．5 B． C． D． 二、填空题 5．计算 . 6．化简： ．（结果用根式表示） 三、计算题 7．（1）计算：； （2）化简： 4.2 指数函数★★★★ Ⅰ考情分析 1.通过指数函数的实际背景,理解指数函数的概念,提升数学抽象素养. 2.通过借助计算工具画出指数函数的图象,归纳指数函数的性质,掌握指数函数图象和性质的简单应用,提升直观想象和逻辑推理素养. 3.通过指数函数的实际应用,培养数学建模素养. Ⅱ知识点总结 一、指数函数的概念 定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． 二、指数函数的图象与性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 三、比较指数幂的大小 比较幂的大小的常用方法： （1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断； （2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断； （3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较． 题型训练 一、单选题 1．已知指数函数的图象经过点，则（    ） A．4 B．1 C．2 D． 2．当时，在同一坐标系下，函数与的图像可能是（　　） A． B． C． D． 3．若函数（且）在上的值域为，则（    ） A．3或 B．或 C．或 D．或 4．在同一平面直角坐标系中，二次函数与指数函数的图像关系可能为（        ） A． B． C． D． 5．设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数的图像恒过的定点，且点在直线上，则的最小值为（    ） A．4 B．1 C．2 D．5 8．设，，，则（   ） A． B． C． D． 9．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 10．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．函数且，当时，值域为，则的值可能是（    ） A． B． C． D．2 12．已知函数，下面命题正确的是（    ） A．函数的图象关于原点对称 B．函数的图象关于轴对称 C．函数的值域为 D．函数在内单调递减 三、填空题 13．函数的定义域为 ．（用区间表示） 14．已知函数且的图象恒过定点，则点的坐标为 . 15．已知不等式对于恒成立，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 16．已知函数是定义域为R的奇函数.当时，. (1)求的解析式； (2)，恒成立，求实数a的取值范围. 17．已知函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)用定义证明函数是增函数； (3)解不等式. 18．已知函数， (1)当时，解不等式