2024年中考数学二轮专题复习： 模型强化训练

2024中考数学全国真题分类卷 模型一 倍长中线模型 强化训练 1.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，CE，DF交于点G，连接AG.下列结论：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠AGE＝∠CDF.其中正确的结论是(　　) A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 第1题图 2.如图，已知菱形ABCD的边长为4，E是BC的中点，AF平分∠EAD交CD于点F，FG∥AD交AE于点G.若cos B＝，则FG的长是(　　) 第2题图 A. 3 B. C. D. 3.有公共顶点A的正方形ABCD与正方形AEGF按如图①所示放置，点E，F分别在边AB和AD上，连接BF，DE，M是BF的中点，连接AM交DE于点N. 【观察猜想】 (1)线段DE与AM之间的数量关系是______，位置关系是________________； 【探究证明】 (2)将图①中的正方形AEGF绕点A顺时针旋转45°，点G恰好落在边AB上，如图②，其他条件不变，线段DE与AM之间的关系是否仍然成立？并说明理由． 　第3题图 4. 问题探究： 小红遇到这样一个问题：如图①，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是中线，求AD的取值范围．她的做法是：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决． 请回答：(1)小红证明△BED≌△CAD的判定定理是_________________________； (2)AD的取值范围是________； 方法运用： (3)如图②，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，连接BF并延长交AC于点E，使AE＝EF，求证：BF＝AC； (4)如图③，在矩形ABCD中，＝，在BD上取一点F，以BF为斜边作Rt△BEF，且＝，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：EG＝CG. 第4题图 参考答案与解析 1. D　【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，∵E，F分别是AB，BC的中点，∴BE＝AB，CF＝BC，∴BE＝CF，在△CBE与△DCF中，，∴△CBE≌△DCF(SAS)，∴∠ECB＝∠CDF，CE＝DF，故①正确；∵∠BCE＋∠ECD＝90°，∴∠ECD＋∠CDF＝90°，∴∠CGD＝90°，∴CE⊥DF，故②正确；∴∠EGD＝90°，如解图，延长CE交DA的延长线于点H，∵点E是AB的中点，∴AE＝BE，∵DH∥BC，∴∠AHE＝∠BCE，∠AEH＝∠CEB，∴△AEH≌△BEC(AAS)，∴BC＝AH＝AD，∴AG是Rt△DGH斜边的中线，∴AG＝DH＝AD，∴∠ADG＝∠AGD，∵∠AGE＋∠AGD＝90°，∠CDF＋∠ADG＝90°，∴∠AGE＝∠CDF.故③正确；综上所述，结论①②③均正确． 第1题解图 2. B　【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA＝4，如解图，过点A作AH⊥BC于点H，在Rt△ABH中，∵cos B＝，∴＝，∵AB＝4，∴BH＝1，又∵点E是BC的中点，∴BE＝EC＝2，∴点H是BE的中点，∴AE＝AB＝4，延长AE，DC交于点M，∵EC∥AD，且EC＝AD，∴EC是△ADM的中位线，∴ME＝MC＝AD＝DC＝4，∵GF∥AD，∴△GMF∽△AMD，∴＝，∵AF平分∠EAD，∴∠GAF＝∠DAF，∵GF∥AD，∴∠DAF＝∠GFA，∴∠GAF＝∠GFA，∴GF＝GA，∴GM＝AM－AG＝AM－GF＝8－GF，∴＝，解得GF＝. 第2题解图① 【一题多解】如解图②，过点A作AH⊥BE于点H，过点F作FP∥AE交AD于点P，作FQ⊥AD于点Q，∵菱形ABCD的边长为4，∴AB＝AD＝BC＝4.∵cos B＝＝，∴BH＝1，∵E是BC的中点，∴BE＝CE＝2，∴EH＝BE－BH＝1，∴AH是BE的垂直平分线，∴AE＝AB＝4.∴∠AEB＝∠ABC，∵GF∥AD，FP∥AE，∴四边形AGFP是平行四边形，∴∠PAF＝∠AFG，∵AF平分∠EAD，∴∠PAF＝∠FAG，∴∠FAG＝∠AFG，∴AG＝GF，∴四边形AGFP是菱形，∵FP∥AE，AD∥BC，∴∠DPF＝∠DAE＝∠AEB＝∠B，∴∠DPF＝∠PDF，∴PF＝DF，设GF＝x，∵cos D＝cos B＝＝，则有＝.解得x＝，则FG的长是. 第2题解图② 3. 解：(1)AM＝DE，AM⊥DE； 【解法提示】∵四边形ABCD、AEGF都是正方形，∴AB＝AD，AE＝AF，在△ABF和△ADE中，∴△ABF≌△ADE(SAS)，∴BF＝DE，又∵点M是BF的中点，∴AM＝BF＝DE，∵△ABF≌△ADE，∴∠ABF＝∠ADE，∵∠BAD＝90°，∴∠AED＋∠ADE＝∠AED＋