6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示-2023-2024学年高一数学《第六章平面向量及其应用》同步讲与练（人教A版2019必修第二册）

6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示 知识点归纳 一、平面向量数乘运算的坐标表示 (1)语言表示：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. (2)坐标表示：a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝ . 二、平面向量共线的坐标表示 平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 如果用坐标表示，可写为a∥b⇔(x1，y1)＝λ(x2，y2)， 消去λ，得x1y2－x2y1＝0，即向量a，b(b≠0)共线的充要条件是 . 三、中点坐标公式 中点坐标公式 若P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点P的坐标为(x，y)，则 ，此公式为线段P1P2的中点坐标公式. 温馨提醒　在上述问题中，对任意的λ(λ∈R，且λ≠－1)，点P的坐标为. 题型演练 题型一　向量的坐标运算 例1 (1)已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c＝(　　) A.(－23，－12) B.(23，12) C.(7，0) D.(－7，0) (2)已知M(3，－2)，N(－5，－1)，＝，则P点坐标为________. 小结　向量的坐标运算主要是利用加、减运算法则及数乘运算进行，解题时要注意方程思想的运用及正确使用运算法则. 变式1 已知a＝(－1，2)，b＝(2，1)，求： (1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b. 题型二　向量平行(共线)的判定 例2 已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？ 小结　向量共线的判定方法 (1)利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b. (2)利用向量共线的坐标表示，由x1y2－x2y1＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))直接判断a与b平行. 变式2 已知A，B，C三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，且＝，＝，求证：∥. 题型三　利用向量共线求参数 例3 已知＝(k，2)，＝(1，2k)，＝(1－k，－1)，且相异三点A，B，C共线，则实数k＝________. 小结　根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路.一是利用向量共线定理a＝λb(b≠0)，列方程组求解；二是利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0求解. 变式3 (1)已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋4b与a－2b共线，则m的值为(　　) A. B.2 C.－ D.－2 总结 1.重要思想与方法 (1)利用共线向量定理的坐标表示可以解决参数问题及线线平行的证明问题. (2)向量数乘运算的坐标表示及应用体现了转化与化归的思想方法. 2.易错易混点提醒 (1)注意只有当x2y2≠0时，a∥b⇔＝. (2)利用共线向量定理的坐标表示求参数时，要对代数式等价变形，不要漏解. 分层作业 A基础能力提升 一、单选题 1．（2023下·甘肃临夏·高一统考期末）已知向量，，且，则（    ） A． B． C．0 D．2 2．（2023下·山东菏泽·高一山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）已知向量不共线，且，若与共线，则实数的值为（    ） A．1或 B． C． D．或 3．（2023下·广东东莞·高一校考阶段练习）已知向量，则与共线的单位向量为（　　） A． B． C．或 D．或 4．（2023下·黑龙江哈尔滨·高一统考期末）设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 5．（2023下·江苏泰州·高一校考期中）设，为平面内一个基底，已知向量，，，若A，B，D三点共线，则的值是（    ） A． B． C． D． 6．（2023下·贵州安顺·高一统考期末）若三点、、共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（2023下·江西赣州·高一校考阶段练习）下面向量与向量平行的是（    ） A． B． C． D． 8．（2023下·广东东莞·高一校考阶段练习）给出下列命题：其中假命题的是（ ） A．若平面向量 满足， 则 B．若，满足且与同向，则 C．若平面向量 满足，则 D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形” 三、填空题 9．（2023下·河北石家庄·高一校考期中）已知向量，若与共线，则m的值为 ． 10．（2023下·四川自贡·高一统考期中）已知点，点在线段的延长线上，且，则点P的坐标是 . 11．（2023下·天津·高