4.3.1等比数列的概念及通项公式课件（第1课时）-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3.1等比数列的概念 1 1.等差数列的定义是什么？ 复习回顾 3.前n项和公式是什么？ 2.它的通项公式是什么？ 2 我们知道，等差数列的特征是“从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数” 。 导入新课 类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？ 先从哪些方面研究呢？ 3 探究一：等比数列的定义 4 实例1 两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列: ① ② ③ 探究新知 实例2 《庄子·天下》中提到：“一尺之锤，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之锤”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，每天得到的“锤”的长度依次是 ④ 5 实例3 在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20 min 就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是 2,4,8,16,32,64,… ⑤ 实例4 某人存入银行元，存期为5年，年利率为 ，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是 ⑥ 6 ① ② ③ ④ 2,4,8,16,32,64,… ⑤ ⑥ 问题1 类比等差数列，你认为可以通过怎样的运算发现以下数列的取值规律？你发现了什么规律？ 共同规律： 从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数. 7 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数, 那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示(显然)． 等比数列的概念： 符号表示： 或 追问：你能否类比等差数列的概念，归纳出等比数列的概念以及它的递推关系？ 8 或 注意：(1)任意一项且 (2)时，为非零常数列. 如：1,1,1,1,… 是等差数列，也是等比数列； 是等差数列，不是等比数列； 0,0,0,0,… 非零常数列既是等差数列，又是等比数列，公差为0，公比为1. 等比数列 9 1. 判断下列数列是否为等比数列. 如果是，写出它的公比. (5) 0,1,2,4,8,… (6) 2,0,2,0,2,… (7) 1,a,a2,a4,a8,… a≠0时，是等比数列，公比为a a=0时，不是等比数列 所有的奇数项同号，所有的偶数项同号，但奇偶项异号 课堂练习 × × × × 问题2 在等差数列中，我们学习了等差中项的概念.通过类比，在等比数列中有什么相应的概念？如何定义？ 等比中项 由三个数 ， ， 组成等比数列，那么叫做与的等比中项. 思考：这时a，b的符号有什么特点？你能用 a，b表示G 吗？ 等比中项有2个，它们互为相反数 （3） （1） （2） （4）一个等比数列从第2项起，每一项是它的前一项与后一项 的等比中项. 课本例1 若等比数列的第4项和第6项分别为48和12,求的第5项. 例题精讲 解：因为 是 与 的等比中项，所以 . 所以. 因此，的第5项是24或-24. 探究二：等比数列的通项公式 13 类比 不完全归纳法得 an=a1+(n-1)d 不完全归纳法得an=a1qn-1 问题3 类比等差数列通项公式的推导，你能根据等比数列的定义及递推公式推导它的通项公式吗？ 类比 累加法得an-a1=(n-1)d,n≥2 追问 还有其他方法证明上述得到的等比数列的通项公式吗？ 课本例1 若等比数列的第4项和第6项分别为48和12,求的第5项. 例题精讲 解：由，，得 的两边分别除以①的两边，得 解得或. 把 代入①，得 . 此时 . 把 代入①，得 . 此时 . 因此的第5项是24或. 课本例2 已知等比数列的公比为，试用的第项表示. 例题精讲 等比数列的通项公式： 推广 等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示． 18 问题4 公差的等差数列可以与相应的一次函数建立联系，对于等比数列，公比满足什么条件的数列可以与相应的函数建立类似的联系？ 19 l l 思考：类比指数函数的性质，说说公比的等比数列的单调性. 指数函数的单调性   等比数列的单调性 不变 等比数列的 单调性 不变 不变 公比数列为摆动数列，不具有单调性 单调递减 单调递增 单调递减 单调递减 单调递减 单调递增 单调递增 单调递增 课本例3 数列