2024届高考重难点突破之——一道直线最值题的拓展探究讲义

一道直线最值问题的拓展探究 问题： 直线过点，分别交轴的正半轴和轴的正半轴于两点，为坐标原点，当最小时，求直线的方程. 探究一、一题多解 法一、设直线的方程为：，其中， 令，得， 令，得， 等号成立，当且仅当，解得， 直线的方程为即. 法二、设直线的方程为：，其中， 直线过点， 等号成立，即当且仅当，解得， 直线的方程为即. 法三、作轴于点，作轴于点， 设，则 等号成立，当且仅当，解得， 直线的斜率为,方程为即. 探究二、问题变更 变更1、条件不变，当的面积最小时，求直线的方程. 法一、设直线的方程为：，其中， 令，得， 令，得， 等号成立，当且仅当，解得，直线的方程为. 法二、设直线的方程为：，其中， 直线过点， 由得 等号成立，即当且仅当，解得， 直线的方程为即. 法三、作轴于点，作轴于点， 设，则 等号成立，当且仅当，解得， 直线的斜率为,方程为即. 变更2、条件不变，当的值最小时，求直线的方程. 法一、设直线的方程为：，其中， 令，得， 令，得， 等号成立，当且仅当，解得，直线的方程为. 法二、作轴于点，作轴于点， 设，则 当即时， 直线的斜率为,方程为即. 说明：设直线的方程为：，其中， 直线过点，， 此方向困难重重！ 变更3、条件不变，当的值最小时，求直线的方程. 法一、设直线的方程为：，其中， 令，得， 令，得， 记 由得 当时单调递减； 当时单调递增； 时，有最小值，从而最小， 此时直线的方程为. 法二、作轴于点，作轴于点， 设，则 记 由即得 函数在上单调递增，设 则此时单调递减； 此时单调递增； 即时，最短， 此时直线的方程为. 变更4、一般性探讨 直线过第一象限的点，分别交轴的正半轴和轴的正半轴于两点，为坐标原点，当的值最小时，求直线的方程. 法一、设直线的方程为：，其中， 令，得， 令，得， 记 而为上的增函数，由得得， 当时，单调递减； 当时单调递增； 时，有最小值，从而最短， 此时直线的方程为，即. 法二、作轴于点，作轴于点， 设，则 记 由即得 函数在上单调递增，设 则此时单调递减； 此时单调递增； 即时，最短， 此时直线的方程为，即. 学科网（北京）股份有限公司 $$