1.4.2用空间向量研究距离夹角问题同步练习-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 第2课时 空间中的夹角问题 A级——基础过关练 1.平面 的一个法向量为n=(1,-,0),则y轴与平面 所成的角的大小为 ( ) A. B. C. D. 2.(2023年太原检测)如图,在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E,F分别是CC1,AD的中点,那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于 ( ) A. B. C. D. 3.(2023年衢州检测)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值为 ( ) A. B. C. D. 4.已知E,F分别是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC,CC1的中点,则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是 ( ) A. B. C. D. 5.在正四棱锥PABCD中,高为1,底面边长为2,E为BC的中点,则异面直线PE与DB所成的角为 ( ) A. B. C. D. 6.在如图所示的圆锥中,已知PO=, O的直径AB=2,C是的中点,则二面角BPAC的余弦值为 ( ) A. B. C. D. 7.(多选)如图,在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,M是棱AA1的中点,点P在侧面ABB1A1内.下列结论正确的是 ( ) A.直线CM与平面ABCD所成角的余弦值为 B.||的最大值为2 C.cos ∠A1D1P的取值范围为 D.若D1P⊥CM,则 PBC的面积的最小值为 8.(2023年宿州检测)已知直线l的方向向量为s=(-1,1,1),平面 的法向量为n=(1,2,-3),则直线与平面夹角的余弦值为_. 9.在空间中,已知平面 过点(3,0,0)和点(0,4,0)及z轴上一点(0,0,a)(a>0),如果平面 与平面Oxy的夹角为45 ,那么a=_. 【10.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,M是PA的中点,PD⊥平面ABCD,且PD=CD=4,AD=2. (1)求AP与平面CMB所成角的正弦; (2)求二面角MCBP的余弦值. B级——能力提升练 11.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4,EF是棱AB上的一条线段,且EF=1,点Q是棱A1D1的中点,点P是棱C1D1上的动点,则二面角PEFQ的正弦值是 ( ) A. B. C. D. 12.(多选)如图,已知E,F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC和CD的中点,则( ) A.A1D与B1D1是异面直线 B.A1D与EF所成角的大小为45 C.A1F与平面B1EB所成角的余弦值为 D.二面角CD1B1B的余弦值为 13.如图,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中点,cos 〈,〉=,若以DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为_. 14.如图,在底面边长均为2,高为1的长方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为BC,C1D1的中点,则异面直线A1E,CF所成角的大小为_;平面A1EF与平面A1B1C1D1所成锐二面角的余弦值为_. 15.(2023年山东模拟)如图,长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形. (1)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由); (2)求直线AF与平面 所成角的正弦值. 答案 1【答案】B 【解析】y轴的一个方向向量为m=(0,1,0),cos 〈m,n〉===-.所以〈m,n〉=,所以y轴与平面 所成角的大小为-=. 2【答案】B 【解析】如图所示,建立空间直角坐标系,则O(1,1,0),E(0,2,1),D1(0,0,2),F(1,0,0).所以=(-1,1,1),=(-1,0,2),所以cos 〈,〉===.所以异面直线OE与FD1所成的角的余弦值等于. 3【答案】A 【解析】如图所示,建立空间直角坐标系.设AA1=2AB=2a,则B(a,0,0),D(0,a,0),C1(a,a,2a),C(a,a,0).所以=(-a,0,0),=(-a,a,0),=(0,a,2a),设平面BDC1的法向量n=(x,y,z),则即令y=2,则x=2,z=-1.所以平面BDC1的一个法向量n=(2,2,-1).设CD与平面BDC1所成的角为 ,则sin =|cos 〈,n〉|===. 4【答案】C 【解析】以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图,则A(1,0,0),E,F,D1(0,0,1).故=(-1,0,1),=.设平面AEFD1的法向量n=(x,y,z),则即故x=2y=z,取y