2024年中考数学高频考点突破——二次函数与最大值

2024年中考数学高频考点突破——二次函数与最大值 1．如图1，已知抛物线经过点，两点，且与y轴交于点C．    (1)填空：______，______；求得直线的解析式为______． (2)在第二象限的抛物线上，是否存在一点M，使得的面积最大？求出点M的坐标及的面积最大值，若不存在，请说明理由． (3)点P是线段上的一点，过P作x轴的平行线交抛物线于Q，是否存在这样的点P，使O，A，P，Q四点能组成一个平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．已知，该抛物线的对称轴为直线．    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)假设将线段平移，使得平移后线段的一个端点在这条抛物线上，另一个端点在轴上，若将点、平移后的对应点分别记为点、，当点在点右侧时，求以、、、为顶点的四边形周长的最大值． 3．如图，“爱心”图案是由抛物线的一部分及其关于直线的对称图形组成，点E、F是“爱心”图案与其对称轴的两个交点，点A、B、C、D是该图案与坐标轴的交点，且点D的坐标为．    (1)求m的值及AC的长； (2)求的长； (3)若点P是该图案上的一动点，点P、点Q关于直线对称，连接，求的最大值及此时Q点的坐标． 4．如图，经过原点的抛物线（、为常数，）与轴相交于另一点．在第一象限内与直线交于点，抛物线的顶点为点．        (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点是点关于抛物线对称轴的对称点，点是直线下方的抛物线上的动点，与直线交于点．设和的面积分别为和，求的最大值． (3)如图3抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C．    (1)求直线BC的解析式； (2)点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交BC于点D，过点P作x轴的平行线交BC于点E，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿着射线CB方向平移得到新抛物线，且新抛物线经过线段BC的中点F，新抛物线与y轴交于点M，点N为新抛物线对称轴上一点，点Q为坐标平面内一点，若以点P，Q，M，N为顶点的四边形是以PN为边的菱形，写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程． 6．如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线．    (1)求抛物线的解析式； (2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形的面积S的最大值及此时D点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上找一点P，使的值最小，直接写出P点坐标． 7．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且．    (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点M是线段下方抛物线上的一个动点（不与点B，点C重合），过点M作直线轴于点D，交线段于点N．是否存在点M使得线段的长度最大，若存在，求线段长度的最大值，若不存在，请说明理由； (3)当二次函数的自变量x满足时，此函数的最大值与最小值的差为2，求出t的值． 8．综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，．    (1)求抛物线解析式，并直接写出直线的解析式； (2)点在此拋物线的对称轴上，当最大时，点的坐标为______； (3)若点是第三象限内抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交于点，过点作交直线于点，求周长的最大值及此时点的坐标； (4)点在抛物线上，在平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是以为边的矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为．    (1)求点C的坐标； (2)如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线距离的最大值； (3)如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图1，在菱形中，、交于点E，厘米，点F在上，厘米．点P、Q分别从A、E两点同时出发，点P以k厘米/秒的速度沿向点E匀速运动，用时8秒到达点E；点Q以m厘米/秒的速度沿向点E匀速运动，设运动的时间为x秒，的面积为平方厘米，的面积为平方厘米．    (1)图2中的线段是与x的函数图象，则与x的函数关系式为________，m的值为________； (2)图2中的抛物线是与x的函数图象，其顶点坐标是，求点P的速度及对角线的长；