2023年浙江省中考·数学冲刺　思维课第3讲 探索型问题

第3讲 探索型问题 学习目标 讲次 标题 课程内容 知识章节 等级 难度星级 中考冲刺 第3讲 探索型问题 模块一：规律探索型 中考冲刺 4级 ★★★★☆ 模块二：存在探索型 模块三：条件探索型 模块四：结论探索型 模块一 规律探索型 规律探索型问题是在一定的条件下，需探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的题目．其解题策略可以概括为：观察猜想，递进推理．解决这类问题，通常是从简单情况入手，通过操作、观察、分析推理，拾级而上，获得几种简单情况具有确定性的结论．然后通过对这些隐含规律 的挖掘，采用递进推理的思维方式进行概括归纳猜想探索得出规律． 例题精讲 【例题1】 观察下列等式： 可以推测： __________（n为自然数） 【练习1-1】在求1＋3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38的值时，张红发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的3倍，于是她假设：S＝1＋3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38 ①，然后在①式的两边都乘以3，得：3S＝3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38＋39 ②，②一①得：3S―S＝39－1，即2S＝39－1，∴S＝．得出答案后，爱动脑筋的张红想：如果把“3”换成字母m（m≠0且m≠1），能否求出1＋m＋m2＋m3＋m4＋…＋m2016的值？如能求出，其正确答案是___________． 【例题2】 如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2017个白色纸片，则n的值为（　　） A．671 B．672 C．673 D．674 【练习2-1】下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（　　） A．64 B．77 C．80 D．85 【练习2-2】观察下列一组图形，其中图形①中共有2颗星，图形②中共有6颗星，图形③中共有11颗星，图形④中共有17颗星，…，按此规律，图形⑧中星星的颗数是（　　） A．43 B．45 C．51 D．53 【例题3】 如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点（1，0）作x轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标为　 　． 【练习3-1】在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点A1，如图所示依次作正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1、…、正方形AnBnCnCn﹣1，使得点A1、A2、A3、…在直线l上，点C1、C2、C3、…在y轴正半轴上，则点Bn的坐标是　 　． 【例题4】 如图，等边三角形的顶点A（1，1）、B（3，1），规定把等边 “先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次変换，如果这样连续经过2016次变换后，等边的顶点C的坐标为　 ． 【练习4-1】OA=2，OC=1．在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，以此类推，得到的矩形AnOCnBn的对角线交点的坐标为　 ． 【例题5】 如图，一段抛物线：记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得到C6，若点P（11，m）在第6段抛物线C6上，则m=　 　． 【练习5-1】 如图，在平面直角坐标系中，已知在轴上方的部分记作，它与轴交于，，将绕旋转180°得到，与轴交于另一点，请继续操作并探究，将绕旋转180°得到C3，与轴交于另一点A3，将C3绕A3旋转180°得到C4，与轴交于另一点A4，这样依次得到轴上的点A1，A2，A3······An，及抛物线C1， C2， C3······Cn，则Cn顶点坐标为__________.（为正整数，用含的代数式） 【练习5-2】如图，抛物线C1是二次函数y=x2﹣10x在第四象限的一段图象，它与x轴的交点是O、A1；将C1绕点A1旋转180°后得抛物线C2；交x轴于点A2；再将抛物线C2绕A2点旋转180°后得抛物线C3，交x轴于点A3；如此反复进行下去… （1）抛物线C3与x轴的交点A3的坐标是多少？抛物线Cn与x轴的交点An的坐标是多少？ （2）若某段抛物线上