第27章　相似—— 相似的应用　讲义　2023—2024学年人教版数学九年级下册

第15讲 相似的应用 【考点】相似三角形的应用 【重难点】找到相似三角形的模型 【易错点】 1.相似三角形应用模型不正确； 2.注意自变量的取值范围 【知识要点】 【知识点一】线段、周长、面积问题：利用相似多边形的相似比为线段比（周长比），面积比为相似比的平方的性质求解相似图形的面积比，周长比，线段比的问题． 【知识点二】内接矩形类相似模型： 如图，矩形DEFG是△ABC的内接矩形，则有: 【知识点三】相似与平面直角坐标系：在平面直角坐标系中，求解与已知三角形相似三角形的坐标问题一般转化为“边角边”或者“角角”来判定相似问题，此类问题一般答案不唯一． 四．相似与圆：在圆中，相似三角形的出现一般都伴随着射影定理和切线与割线问题，这类题目的问题一般为求解长度问题，利用相似三角形的判定模型与性质，结合勾股定理求解 【知识点】求线段、角度、面积 1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，把△ABC绕AB边上的点D顺时针旋转90°得到△A′B′C′，A′C′交AB于点E，若AD＝BE，则△A′DE的面积是 2. 如图所示，已知：点A（0，0），B（，0），C（0，1）在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…，则第n个等边三角形的边长等于________． 3. 如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为________ 4. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，点E在边CB上，CE＝2EB，点D在边AB上，CD⊥AE，垂足为F，则AD的长为　 　． 【知识点】几何图形中的应用 5. 如图，矩形EFGH内接于，且边FG落在BC上，若，，，，那么EH的长为______． 6. △ABC是一块锐角三角形材料，边BC=120cm，高AD=80cm，要把它加工成矩形零件EFHG，使矩形的一边GH在BC上，其余两个顶点E、F在AB，AC上， （1）求证：EF：：AD； （2）设EF=x，EG=y，用含x的代数式表示y； （3）设矩形EFGH的面积是S，求当x为何值时S的最大值。 7. 如图，平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使BE＝AB，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G． （1）求证：BF＝CF； （2）若BC＝6，DG＝4，求FG的长． 8. 如图，AB是的直径，P为AB延长线上任意一点，C为半圆ACB的中点，PD切于点D，连接CD交AB于点E． （1）求证：PD=PE （2）求证： 相似在实际问题中的应用 【实际应用一】利用相似解决一些实际测量问题 类型一：测高（不能直接用皮尺或刻度尺测量） 测量不能到达顶部物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决； 类型二：测距（不能直接测量的两点之间的距离） 测量不能到达两点之间的距离，常构造相似三角形解决． 【实际应用二】解相似三角形实际问题的一般步骤 步骤一：审题； 步骤二：构建图形； 步骤三：利用相似解决问题 【知识点】实际问题中的应用 1. 如图，在A时测得某树的影长为4米，B时又测得该树的影长为9米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为　　　　　　米． 2. 圆桌面（桌面中间有一个直径为0.4m的圆洞）正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影．已知桌面直径为1.2m，桌面离地面1m，若灯泡离地面3m，则地面圆环形阴影的面积是（　　） A.0.324πm2 B.0.288πm2 C.1.08πm2 D.0.72πm2 3. 为测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度，设计的测量方案如图所示：标杆高度CD=3米，标杆与旗杆的水平距离BD=15米，人的眼睛与地面的高度EF=1.6米，人与标杆CD的水平距离DF=2米，E、C、A三点共线，则旗杆AB的高度为________米 4. 在某一时刻，侧的一根高为1.8米的竹竿的影长为3米，同时同地测得一栋楼的影长为90米，则这栋楼的高度为_______ 米 5. 如图，是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段AB表示站立在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯的位置． （1）在小亮由B处沿BO所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为______； （2）请你在图中画出小亮站在AB处的影子； （3）当小亮离开灯杆的距离时，身