专题十五 最短路径问题（解析版）（15）2023-2024学年人教版八年级数学上册

八年级数学上期末培优专题复习 专题十五 最短路径问题 解决轴对称最短路径问题思路：①抓住特征（有定点，有动点，动点在定线上运动，求动点与定点连接组成的线段和（周长）最小）；②解决方法，有序操作。 类型一 垂线段最短问题 动点所在直线为已知型 方法技巧:一动点与一定点连成的线段中，若动点在定直线上，则垂线段最短。 【例1-1】如图，在锐角中，的平分线交于点分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A． B．6 C． D．3 【例1-2】如图，的面积为4，，的平分线交于点D，E，F分别是线段和上的动点，则的最小值为 ．      【例1-3】如图，在中，，，试解决下列问题：    (1)在边上找一点P，边上找一点Q，使最小； (2)已知，求的最小值． 针对练习1 1.如图，钝角三角形的面积为，最长边， 平分，点 M、N 分别是、上的动点，则 的最小值为 2 .如图，在中，，，，点P，D分别为，上的动点，则的最小值是 ．    3 .如图，中，，点P为AC边上的动点，过点P作于点D，则的最小值为（    ） A． B． C．5 D． 类型二 两点之间线段最短问题 1. 直线异侧的两点到直线上一点的距离的和最短的问题 如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在直线l上找一点C，使CA＋CB最小，这时点C就是线段AB与直线l的交点. 2. 直线同侧的两点到直线上一点的距离的和最短的问题 如图，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在直线l上找一点C，使CA＋CB最小，这时先作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点C(也可以作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点C)，此时点C就是所求作的点. ●直线异侧的两点到直线上一点的距离的和最短的问题是根据“两点之间，线段最短”来设计的. ●直线同侧的两点到直线上一点的距离的和最短的问题依据两点：一是对称轴上任何一点到一组对称点的距离相等；二是将同侧的两点转化为异侧的两点，依据异侧两点的方法找点. 3. 如图，点P是直线l1l2内的点，在直线l1上找一点M，l2上找点N使PM+MN+PN最小，这时分别作点P关于直线l1l2的对称点p′、P”，连接p′P”′交直线l1l2于点M、N，此时点M、N就是所求作的点. 4.如图，点P、Q是直线l1l2内的点，在直线l1上找一点M，l2上找点N使PM+MN+QN+PQ最小，这时分别作点P、Q关于直线l1 l2的对称点p′、Q′，连接p′Q′′交直线l1l2于点M、N，此时点M、N就是所求作的点. 【例2-1】如图所示，正方形ABCD的面积为36，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为( ) A.6 B.8 C.9 D.12 【例2-2】如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP=2，点E，F分别是OA，OB上的动点．若△PEF周长的最小值等于2，则α=( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 【例2-3】如图，在四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC，CD边上分别找一点M，N，使△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为( ) A.130° B.120° C.110° D.100° 【例2-4】如图，在公路l1、l2上要设两个变压供电站，由A村架设电线到B村再到两个供电站回到A村，则供电站M、N应设在公路l1、l2的何处才能使所用的电线最短？请画出l1、l2上供电站M、N的位置(不必说明理由)． 针对练习2 1. 如图所示，∠MON=40°，P为∠MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，则当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为( ) A.80° B.100° C.110° D.120° 2 .如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的最短周长为( ) A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm 3 .如图，四边形中，，，E、F分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为 ．    4 .如图1、图2和图3，A、B两点在直线l同侧，且点A、B所在直线与l不平行，在直线l上画出符合要求的点P（不写做法与理由，保留作图痕迹）． （1）为最大值，在图1中的直线l上画出点的位置； （2），在图2中