专题十四 等边三角形专题（14）2023-2024学年人教版八年级数学上册

八年级数学上期末培优专题复习 专题十四 等边三角形专题 类型一 等边三角形中的的辅助线一： 过等边三角形边上或边的延长线上一点作平行线，构造等边三角形或者创造全等三角形的条件。 【例1-1】已知，△ABC为等边三角形，点D为AC上的一个动点，点E为BC延长线上一点，且BD＝DE． （1）如图1，若点D在边AC上，猜想线段AD与CE之间的关系，并说明理由； （2）如图2，若点D在AC的延长线上，（1）中的结论是否成立，请说明理由． 【例1-2】如图，在等边△ABC中，D是AB上一点，E是BC延长线上一点，AD＝CE，DE交AC于点F． （1）求证：DF＝EF； （2）过点D作DH⊥AC于点H，求． 【例1-3】如图，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，F是边AB上的动点，E为直线BC上一点，且∠EDF＝120°． ①如图1，求证：DF＝DE； ②如图2，过点D作DM⊥BC于M，求的值． 针对练习1 1 .如图，是边长为9的等边三角形，P是边上的动点，由点A向点C运动（与A，C不重合），Q是延长线上的动点，与点P以相同的速度同时由点B向延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作于点E，连接交于D．    (1)当时，求的长； (2)在运动过程中线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果发生变化，请说明理由． 2 .综合与实践 【问题情境】如图，图，在等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接． 【问题解决】如图，若点在边上，在上截取，连接． （1）请判断的形状，并说明理由． （2）若，，求的长． 【类比探究】如图，若点在边的延长线上，请直接写出线段，与之间存在的数量关系． 类型二 等边三角形中的的辅助线一： 作垂线构造角平分线性质或创造全等三角形的条件 【例2-1】数学课上，张老师带领学生们对课本一道习题层层深入研究． 教材再现：如图，，都是等边三角形．求证：． (1)请写出证明过程； 继续研究： (2)如图，在图的基础上若与交于点，与交于点，与交于点，连接，求证：平分； (3)在（）的条件下再探索，，之间的数量关系，并证明． 【例2-2】如图，在中，平分交的延长线于点．则的面积是（   ）    A．18 B．36 C． D． 针对练习2 1 .如图，△ABD和△ACE都是等边三角形． （1）求证：BE＝CD； （2）求∠BFC的度数； （3）求证：FA平分∠DFE； （4）求证：AF+BF＝DF． 类型三 等边三角形与手拉手模型 条件：两个共顶点、等顶角的等边三角形所组成。 手拉手模型结论：左拉左，右拉右，围成的两个三角形全等。 【例3-1】探究等边三角形“手拉手”问题． （1）如图1，已知△ABC，△ADE均为等边三角形，点D在线段BC上，且不与点B、点C重合，连接CE，试判断CE与BA的位置关系，并说明理由； （2）如图2，已知△ABC、△ADE均为等边三角形，连接CE、BD，若∠DEC＝60°，则∠ADB+∠ADE＝　180　度； （3）如图3，已知点E在等边三角形△ABC外，点E、点B位于线段AC的异侧，连接BE、CE．若∠BEC＝60°，猜想线段BE、AE、CE三者之间的数量关系，并说明理由． 【例3-2】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以线段为边在第四象限内作等边，点为轴正半轴上一动点（），连接，以线段为边在第四象限内作等边，直线交轴于点． (1)与全等吗？判断并证明你的结论． (2)随着点位置的变化，点的位置是否会发生变化？若没有变化，求出的长度；若有变化，请说明理由 针对练习3 1 .△ABC为等边三角形，D为射线BC上一点，∠ADE＝60°，DE与∠ACB的外角平分线交于点E． （1）如图1，点D在BC上，求证：CA＝CD+CE； （2）如图2，若D在BC的延长线上，直接写出CA、CD、CE之间的数量关系， 2 .【阅读材料】小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，则△ABD≌△ACE． 【材料理解】（1）在图1中证明小明的发现． 【深入探究】（2）如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，连接AO，下列结论：①BD=EC；②∠BOC=60°；③∠AOE=60°；④EO=CO，其中正确的有 ．（将所有正确的序号填在横线上）． 【延伸应用】（3）如图3，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，试探究∠A与∠C的数量关系． 3 .探究等边三角形“手拉手”问题． （1）如图1，已如△ABC，△ADE均为等边三角形，点D在线段B