28.2.2 应用举例课件2023-2024学年人教版九年级数学下册

28.2 解直角三角形及其应用 第二十八章 锐角三角函数 第2课时 应用举例 解直角三角形在实际中的应用 1 1. 利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤： (1)画出平面图形，将实际问题抽象为数学问题，转化为解直角三角形的问题； (2)根据已知条件的特点，灵活选用锐角三角函数等知识解直角三角形； (3)得到数学问题的答案； (4)得到实际问题的答案 . 2. 解决实际问题时，常见的基本图形及相应的关系式如下表所示： 图形 关系式 图形 关系式 AC=BC· tanα， AG=AC+BE BC=DC－BD= AD· ( tanα －tanβ ) AB=DE=AE· tanβ ， CD=CE+DE=AE· ( tanα +tanβ ) BD=BC－DC= AC· ( －)，AG=AC+CG= AC+BE BC=BD+DC=AD·( ＋) BC=BE+EF+ CF=BE+AD+ CF=AD+h· ( ＋) 例1 如图 28.2-12 所示，某居民楼Ⅰ高 20 m，窗户朝南， 该楼内一楼住户的窗台离地面的距离 CM 为 2 m，窗户 CD 高1.8 m. 现计划在楼Ⅰ的正南方距楼Ⅰ 30 m 处新建一居民楼Ⅱ . 当正午时刻太阳光线与地面成 30°角时，要使楼Ⅱ的影子不影响楼Ⅰ所有住户的采光，新建楼Ⅱ最高只能建多少米？ 解：设正午时刻，太阳光线正好照在楼Ⅰ 一楼的窗台处， 此时新建居民楼Ⅱ 高EG=x m，如图 28.2-12 所示， 过点 C 作 CF ⊥ EG 于点 F，则 FG=CM=2 m. 在 Rt △ ECF 中， EF=( x － 2) m， FC=30m，∠ ECF=30°， ∴ tan 30° = ==，∴ x=10 +2. 答：新建楼Ⅱ 最高只能建(10 +2) m. 1-1. [ 中考· 十堰 ] 如图，小明利用一个锐角是 30 ° 的三角尺测量操场旗杆的高度，已知他与旗 杆 之 间的水平距离 BC 为 15 m，AB 为 1.5 m(即小明的眼睛与地面的距离)，那么旗杆的高度是(     ) A. (15 + ) m B.5 m C.15 m D. (5 + )m D 例2 某工程队承包了一段铁路的施工，该铁路要经 过某一隧道，如图 28.2-13，已知隧道口分别为 D， E. 为了如期完工，需测量出 DE 的长度，为此，该工程队在山的一侧选取适当的点C， 测得 BC=200 m， ∠ ABC= 105 °，∠ C=45°， AD=18 m， BE=32 m，且 A， D， E， B 在同一条直线上，已知该 工程限定时间为 10 天，该工程队每天至少 需要施工多少米？ 解： 如图 28.2-13 所示，过点 B 作 BF ⊥ AC 于点 F. ∵∠ ABC=105°，∠ C=45°， ∴∠ A=30°，△ BFC 为等腰直角三角形 . 在 Rt △ BFC 中， ∵ cos C= ，∴ BF=FC=BC· cos C=200× =100 (m) . 在 Rt △ AFB 中，∵∠ A=30°，∴ AB=2BF=200 (m) . 又∵ AD=18 m， BE=32 m， ∴ DE=AB － AD － BE= 200 － 18 － 32 =150 (m) . ∵ 150 ÷10 = 15 (m) ， ∴该工程队每天至少需要施工15 m. 2-1.如图，要测量小河两岸相对的两点 P， A的距离，可以在小河边取 PA 的垂线 PB 上 的一点 C，测得 PC=100米，∠ PCA=35°，则小河宽 PA 等于(     ) A.100sin35°米 B.100sin55°米 C.100tan35°米 D.100tan55°米 C 解直角三角形在解仰角和俯角中的应用 2 1. 仰角和俯角的定义： 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角 . 2. 示图(如图 28.2-14)： 例 3 如图 28.2-15，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆 CD 的高度，先在教学楼的底端 A 处，观测到旗杆顶端 C 的仰角∠ CAD=60°，然后爬到教学楼上的 B 处，观测到旗杆底端 D 的俯角是 30°， 已知教学楼 AB 高 4 m. (1) 求教学楼与旗杆的水平距离 AD；(结果保留根号) 解： ∵在教学楼上的 B 处观测旗杆底端 D 的俯角是 30°， ∴∠ ADB=30° . 在 Rt △ ABD 中， ∵ ∠ BAD=90°， ∠ ADB=30°， AB=4 米， ∴ AD= ==4 (米) . 答：教学楼与旗杆的水