2024年九年级中考数学复习 重难题型分类练 题型九 几何探究题

2024中考数学复习 重难题型分类练 题型九 几何探究题 类型一　非动点探究题 1. 已知四边形ABCD中，BC＝CD，连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE. (1)如图①，若DE∥BC，求证：四边形BCDE是菱形； (2)如图②，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC. (i)求∠CED的大小； (ii)若AF＝AE，求证：BE＝CF. 　第1题图 2. 已知正方形ABCD，E为对角线AC上一点． 【建立模型】 (1)如图①，连接BE，DE.求证：BE＝DE； 【模型应用】 (2)如图②，F是DE延长线上一点，FB⊥BE，EF交AB于点G. ①判断△FBG的形状并说明理由； ②若G为AB的中点，且AB＝4，求AF的长； 【模型迁移】 (3)如图③，F是DE延长线上一点，FB⊥BE，EF交AB于点G，BE＝BF.求证：GE＝(－1)DE. 　　　第2题图 3. (1)如图①，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE∥AC，交BC于点E. ①若DE＝1，BD＝，求BC的长； ②试探究－是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由； (2)如图②，∠CBG和∠BCF是△ABC的2个外角，∠BCF＝2∠CBG，CD平分∠BCF，交AB的延长线于点D，DE∥AC，交CB的延长线于点E.记△ACD的面积为S1，△CDE的面积为S2，△BDE的面积为S3.若S1·S3＝S，求cos ∠CBD的值． 　第3题图 类型二　动点探究题 4. 如图，在矩形ABCD中，点O是AB的中点，点M是射线DC上动点，点P在线段AM上(不与点A重合)，OP＝AB. (1)判断△ABP的形状，并说明理由； (2)当点M为边DC中点时，连接CP并延长交AD于点N.求证：PN＝AN； (3)点Q在边AD上，AB＝5，AD＝4，DQ＝，当∠CPQ＝90°时，求DM的长． 5. 如图①，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆于点D，BE⊥CD，交CD延长线于点E，交半圆于点F，已知BC＝5，BE＝3.点P，Q分别在线段AB，BE上(不与端点重合)，且满足＝.设BQ＝x，CP＝y. (1)求半圆O的半径； (2)求y关于x的函数表达式； (3)如图②，过点P作PR⊥CE于点R，连接PQ，RQ. ①当△PQR为直角三角形时，求x的值； ②作点F关于QR的对称点F′，当点F′落在BC上时，求的值． 　第5题图 6.在▱ABCD中，∠C＝45°，AD＝BD，点P为射线CD上的动点(点P不与点D重合)，连接AP，过点P作EP⊥AP交直线BD于点E. (1)如图①，当点P为线段CD的中点时，请直接写出PA，PE的数量关系； (2)如图②，当点P在线段CD上时，求证：DA＋DP＝DE； (3)点P在射线CD上运动，若AD＝3，AP＝5，请直接写出线段BE的长． 　第6题图 7. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，点P在边AB上，D，E分别为BC，PC的中点，连接DE.过点E作BC的垂线，与BC，AC分别交于F，G两点．连接DG，交PC于点H. (1)∠EDC的度数为________°； (2)连接PG，求△APG的面积的最大值； (3)PE与DG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由； (4)求的最大值． 类型三　平移探究题 8. 已知：在正方形ABCD的边BC上任取一点F，连接AF，一条与AF 垂直的直线l(垂足为点P)沿AF方向，从点A开始向下平移，交边AB于点E. (1)当直线l经过正方形ABCD的顶点D时，如图①所示．求证：AE＝BF； (2)当直线l经过AF的中点时，与对角线BD交于点Q，连接FQ，如图②所示．求∠AFQ的度数； (3)直线l继续向下平移，当点P恰好落在对角线BD上时，交边CD于点G，如图③所示．设AB＝2，BF＝x，DG＝y，求y与x之间的关系式． 　第8题图 9. 在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合(如图①)，其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝3 cm，AC＝DF＝4 cm，并进行如下研究活动． 活动一：将图①中的纸片DEF沿AC方向平移，连接AE，BD(如图②)，当点F与点C重合时停止平移． 【思考】图②中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由； 【发现】当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形(如图③)，求AF的长； 活动二：在图③中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转α度(0≤α≤90)，连接OB，OE(如图④). 【探究】当EF平分∠AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由． 　第9题图 10. 已知