专题4.10 与线段有关的计算（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题4.10 与线段有关的计算（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】线段的基本事实 (1) 线段的基本事实：两点之间的连线中，线段最短；简单说成：两点之间线段最短； 特别提醒：具有最短性、唯一性、存在性； (2)两点之间的距离：两点之间的线段长度，叫做这两点的距离； 特别提醒：两点之间距离是一个具体的数量，而线段本身是图形，因此不能把A、B两点的距离说成线段AB。 【知识点二】线段的比较及长短比较 1、线段的长短比较 (1)度量法:利用刻度尺分别测量出两条线段的长度,然后根据测量结果进行比较。 (2)叠合法:把两条线段中的一条线段移到另一条线段上使它们有一个端点重合,然后根据另一个端点的位置进行比较。 特别提醒：度量法和叠合法是从“数”和“形”两个方面进行比较的,从“度”的方面比较，一般用度量的方面比较，从“形”的方面比较一般用叠合法。 2.尺规作图：在数学中,我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图,这就是尺规作图。 【知识点三】线段的中点 1.线段的中点的定义：把一条线段分成两条相等线段的点,叫做线段的中点.如图一、如果点M是线段AB的中点,则有AM=BM=AB. 图1 图2 2.三等分线段：把一条线段分成三条相等的线段的点叫做线段的三等分点如图2，点M、N是线段AB的三等分点，则有AM=MN=NB==AB 特别提醒：线段中点的表示方法：线段中点一定在线段上,表示点M是线段AB的中点有三种方法: (1) AM=BM; (2) AB=2AM=2BM; (3) AM=BM=AB. 【考点一】利用线段（直线）的基本事实解决问题 【例1】（2022下·山东淄博·六年级统考期中）如图，已知平面上有、、、四点，按要求进行作图（保留作图痕迹不必写作法） （1）作过，两点的直线； （2）过点作直线的垂线段； （3）画一点，使得的和最小，标出点的位置． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析 【分析】（1）根据直线向两方无限延伸画图即可； （2）过点B作的垂线，与交于E即可； （3）连接、，两线的交点就是P． （1）解：如图，直线l即为所求； （2）如图，线段即为所求； （3）如图，点P即为所求． 【点拨】此题主要考查了作图，解题的关键是掌握两点之间，线段最短，以及掌握过一点作已知直线的垂线的作法． 【变式1】（2022上·河北邢台·七年级邢台三中校考期中）为了让一队学生站成一条直线，先让两名学生站好不动，其他学生依次往后站，要求目视前方只能看到各自前面的那名学生，这种做法依据的几何知识应是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．射线只有一个端点 D．两直线相交只有一个交点 【答案】A 【分析】先让两个同学站好，实质是确定两定点，而由两点即可确定一条直线． 解：由题意可知：两点确定一条直线， 故选：A． 【点拨】本题考查了直线的性质，解题的关键是正确掌握直线的性质． 【变式2】（2018上·江苏南京·七年级校联考期末）在墙上钉一根细木条至少要钉2根钉才稳，根据是 ； 【答案】两点确定一条直线 【分析】由于两点确定一条直线，所以在墙上固定一根木条至少需要两根钉子． 解：在墙上固定一根木条至少需要两根钉子，依据的数学道理是两点确定一条直线． 故答案为两点确定一条直线． 【点拨】当木工师傅锯木板时，他会用墨盒在木板上弹出墨线，这样会使木板沿直线锯下；在正常情况下，射击时只要保证瞄准的一只眼在两个准星确定在直线上，才能射中目标等等；它们都是运用了“两点确定一条直线”的直线的性质． 【考点二】线段的长度比较方法 【例2】（2018·江苏常州·七年级统考期末）如图，已知CA⊥BA （1）画图：①延长BA到D，使AD=BA，连接CD； ②过点A画AE∥BC，AE与CD相交于点E； ③过点B画BF⊥CD，交DC的延长线于点F． 思考：图中有______条线段，它们的长度表示点到直线的距离； （2）度量： ①你度量的哪些量？______； ②通过度量你发现：______．（写一条发现即可） 【答案】（1）详见分析；（2）7，线段BC、线段CD，BC=CD． 【分析】（1）根据题意画出图形即可，根据点到直线的距离的定义即可解决问题；（2）开放题目，答案不唯一．可以测量线段，也可以测量角. 解：（1）线段AD、AE、BF如图所示； 图中有7条线段，它们的长度表示点到直线的距离，（线段BA，DA，CA，BF，CF，EF，DF） （2）①度量线段BC、线段CD．（开放题目，答案不唯一） ②发现：BC=CD．（开放题，根据①回答即可） 故答案为：