2023-2024学年人教版七年级上册数学讲义第5讲 绝对值的意义

第五讲 绝对值的意义 1. 数a的绝对值用符号|a|表示，其含义是|a|=，这是|a|的代数意义。 2. |a|的几何意义表示为：数a在数轴上的点与原点之间的距离， |a-b|表示在数轴上数a对应的点与数b对应的点之间的距离。 3. 绝对值常用的性质有： ①|a|≥0 ②|a·b|=|a|·|b| ③||=(b≠0) ④|a2|=|a|2=a2 ⑤|a+b|≤|a|+|b| ⑥| |a|-|b| |≤|a±b|≤|a|+|b| 例1．用分类讨论法化简下列式子 （1）化简：+ （2）化简+ 练习1. （1） 化简 + （2） 化简 ++ 例2． 求+的最小值 练习2：求++的最小值 例3．阅读下面的材料: 点A，B在数轴上分别表示实数a，b；试说明A，B两点之间的距离表示为|AB|=|a－b|. (1) 当A，B两点中有一点在原点时， 1.设点A在原点，|AB| = |OB| = |b| = |a－b|. 2.设点B在原点，|AB| = |OA| = |a| = |a－b|. (2)当A，B两点都不在原点时， 1. 点A，B都在原点的右边，|AB| = |OB|－|OA| = b－a = |a－b|； 2. 点A，B都在原点的左边，|AB| = |OB|－|OA| = |b|－|a| = －b－(﹣a) = |a－b|； 3. 点A，B在原点的两边， |AB| = |OA|＋|OB| = |a|＋|b| = a＋(﹣b) = |a－b|. 练习3： (1) 数轴上表示：x和﹣7的两点A和B之间的距离是 ，如果|AB|=2，那么x= . (2) ∣x+1∣可表示为x到 的距离，∣x-1∣可表示为x到 的距离. (3) 数轴上，x到1的距离与x到-3的距离之和可以表示为 . 例4． 设数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，则|b-a|-|a-c|+|c-b|化简后的结果为多少？ 练习4. 设数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，则|b-a|+|a+c|+|c-b|化简后的结果为多少？ 例5．如果0＜m＜10并且m≤x≤10，那么代数式|x-m|+|x-10|+|x-m-10|化简后得到的最后结果是多少？ 练习5. 如果0＜p＜15，那么代数式|x-p|+|x-15|+|x-p-15|在p≤x≤15时的最小值是多少？ 例6．若x=，求：|x|+|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的值。 练习6. 当取最小值时，相应的的取值范围是__________，此时最小值是_____。 最小值是________，此时的取值是________。 巩固练习： 1. 如图，a、b为数轴上两点表示的有理数，则在a+b，b-2a，|a-b|，|b|-|a|中负数有几个？ 2. 已知有理数a、b、c在数轴上的对应位置如图，则|c-1|+|a-c|+|a-b|化简后的结果是多少？ 3. 已知a、b、c都是负数，且|x-a|+|y-b|+|z-c|=0，比较xyz与0的大小。 4. a，b，c，d为互不相等的有理数，且c=3，|a-c|=|b-c|=|d-b|=1,则|a-d|=________. 5. 已知x<0<z，xy>0，|y|>|z|>|x|,化简|x+z|+|y+z|-|x-y|. 6. 有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，给出下面四个命题： （1）abc＜0 （2）|a-b|+|b-c|=|a-c| （3）（a-b）（b-c）（c-a）＞0 （4）|a|＜1-bc 其中正确的命题有（　　） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 7. 已知y=|x-b|+|x-20|+|x-b-20|，其中0<b<20,b≤x≤20，那么y的最小值为________. 8. 阅读下列材料并解决有个问题： 我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+1|+|x-2|时，可令x+1=0和x-2=0，分别求得x=-1，x=2（称-1，2分别为|x+1|与|x-2|的零点值）．在实数范围内，零点值x=-1和x=2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况： （1）当x＜-1时，原式=-（x+1）-（x-2）=-2x+1； （2）当-1≤x＜2时，原式=x+1-（x-2）=3； （3）当x≥2时，原式=x+1+x-2=2x-1． 综上讨论，原式= ． 通过以上阅读，请你解决以下问题： （1）分别求出|x+2|和|x-4|的零点值； （2）化简代数式|x+2|+|x-4|． 9. 化简│