5.2.1 三角函数的概念 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教版(2019)必修第一册

高中数学 人教A版（2019） 必修第一册 第五章 三角函数 5.2.1 三角函数的概念 （第1课时） （一）新知导入 1. 创设情境，生成问题 在初中,我们通过直角三角形的边角关系,学习了锐角的正弦、余弦、正切这三个三角函数,如图所示. 2.探索交流，解决问题 【思考1】该定义中的三个三角函数,对于同样大的一个锐角来说,如果三角形的大小发生了改变,其三角函数值是否也改变呢? 【思考2】对于一个任意角，如何求得该角的正弦、余弦、正切值？ 根据研究函数的经验，我们利用直角坐标系来研究上述问题. 如图，以单位圆的圆心为原点，以射线为轴的非负半轴，建立直角坐标系，点的坐标为，点的坐标为.射线从轴的非负半轴开始，绕点按逆时针方向旋转角，终止位置为. （二）新知探索 Q1:当时，点的坐标是什么？ Q2:当或时，点的坐标又是什么？它们是唯一确定的吗？ Q3:一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆交点的坐标能唯一确定吗？ 当时，点的坐标是； 当时，点的坐标是和它们都是唯一确定的. （二）新知探索 一般地，任意给定一个角它的终边与单位圆交点的坐标，无论是横坐标还是纵坐标，都是唯一确定的.所以，点的横坐标、纵坐标都是角的函数.下面给出这些函数的定义. 设是一个任意角，，它的终边与单位圆交点. 正弦函数 余弦函数 正切函数 注意：当时，的终边在轴上，这是点的横坐标等于0，所以无意义. （二）新知探索 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数 余弦函数 正切函数 新知1：三角函数的定义 在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数.设，把按锐角三角函数定义求得的锐角的正弦记为，并把按本节三角函数定义求得的的正弦记为.我们发现与是相等的，且对于余弦、正切也有相同的结论. （三）典型例题 例1.求 的正弦、余弦和正切值． 【变式】求 的正弦、余弦和正切值. 练习1 已知角α的终边与单位圆的交点为P(y<0)， 则tan α＝ . 例2.如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点(不与原点重合)的坐标为,点与原点的距离为. 求证： 证明：如图，设角的终边与单位圆交于交点 分别过点，作轴的垂线，垂足分别为则： ，，，， 于是，，即.因为与同号， 所以即同理可得， 根据勾股定理，.由例2可知，只要知道角终边上任意一点的坐标，就可以求得角的各个三角函数值，并且这些函数值不会随点的位置的改变而改变. 定义2 如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为，点P与原点的距离为r， ，，. 新知1：三角函数的定义 定义1 设是一个任意角，，它的终边与单位圆交点. 正弦函数 余弦函数 正切函数 练习2 若角α的终边经过点P(5，－12)，则sinα＝_____ ，cosα＝______，tanα＝______. 角 sin cos 熟记几个特殊角的三角函数值： tan 高中数学 人教A版（2019） 必修第一册 第五章 三角函数 5.2.1 三角函数的概念 （第2课时） （三）典型例题 例3. 角α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上，求sin α，cos α的值． 变式1： 角α的终边在直线y＝2x上，求sin α，cos α，tan α的值． 【解析】 由题意知r＝|OP|＝，由三角函数定义得cos θ＝＝. 又∵cos θ＝，∴＝. ∵x≠0，∴x＝±1. 当x＝1时，P(1,3)，此时sin θ＝＝，tan θ＝＝3. 当x＝－1时，P(－1,3)，此时sin θ＝ ，tan θ＝＝－3. 【变式2】 已知角θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝，求sin θ，tan θ. （四）课堂练习 1．已知角α终边过点P(1，－1)，则tan α的值为(　　) A．1　　　B．－1 C. D．－ 2．设角α的终边上有一点P(a，3)，,则 （四）课堂练习 3．已知角α的终边经过点P(－b,4)且cos α＝－，则b的值为________． 4.已知角α的终边过点P(12，a)，且tan α＝，求sin α＋cos α的值． 【练习5】 已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，则 2sin α＋cos α＝ . 高中数学 人教A版（2019） 必修第一册 第五章 三角函数 5.2.1 三角函数的概念 （第3课时） 三角函数的定义 设是一个任意角，，它的终边