2.5根与系数的关系　　课件　2023—-2024学年北师大版数学九年级上册

2.5 一元二次方程 根与系数的关系 复习回顾:(1分钟) 1.关于x的一元二次方程的一般形式为 . 2.一元二次方程的求根公式为 . ax2+bx+c=0 (a≠0) (b2-4ac≥0) 已知方程x2+kx-6=0的一个根是2,求它的另一根. 学习目标:(1分钟) 1.掌握一元二次方程根与系数的关系,并能熟练运用; 2.注意:特殊到一般(转化)的数学思想. + 一元二次方程 a b c 自学指导:(4+3+2分钟) 1.解下列方程,并填写表格: 2 1 -3 1 5 1 (1)关于x的方程 的两根x1，x2与系数p，q之间有什么关系? x1+x2= , x1·x2= , (2)思考:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数之间又有怎样的关系呢? x1+x2= , x1·x2= , -p q 0 -4 6 -2 3 -5 0 -4 6 点拨:(2分钟) 形如ax2+bx+c=0(a≠0) 转化 x2+px+q=0 x1+x2=-p, x1·x2=q, x1+x2= ,x1·x2= , x2+ x+ =0 2.已知:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、x2. 求证: , . 证明:∵ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac≥0时根为: 设 , ,则: 认真阅读P49的推理过程 一元二次方程根与系数的关系 如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根分别是x1、x2,那么: x1+x2= , x1·x2= , 这就是一元二次方程根与系数的关系,也叫韦达定理. 1.一元二次方程为 ; 2.方程必须要有实数根,即 . 前提条件: 一般形式 Δ≥0 利用根与系数的关系,求下列方程的两根之和、两根之积. (1)x2+7x+6=0 认真阅读P50的例题,注意解题格式 解：∵a=1，b=7，c=6 ∴△=72-4×1×6=25＞0 ∴x1+x2=-7， x1·x2=6 (2)2x2-3x-2=0 解：∵a=2，b=-3，c=-2 ∴△=(-3)2-4×2×(-2)=25＞0 x1·x2=-1 ∴x1+x2= ， 自学检测:(3+6+9分钟) 应用1:求两根之和与两根之积 1.(P50的随堂练习-1T)不解方程,求两根之和与两根之积(口答). x1+x2=3 x1x2=-1 x1+x2= x1x2= x1+x2= x1x2=0 x1+x2=0 x1x2= 应用2:求方程中的待定系数 2.(P51的数学理解-3T)已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2,求它的另一根及k的值. 变式1:已知方程5x2+6x-k=0的一个根是2,则它的另一根为 ,k的值 . 32 k=-7 变式2:已知关于x的一元二次方程5x2+kx-6=0. (1)求证:不论k取何值,方程总有两个不相等的实数根; (2)设方程的两根分别为x1,x2,且满足 x1+x2=x1·x2,求k的值. 应用3:求含有两根的代数式的值 3.一元二次方程x2-3x+2=0的两根为x1，x2,则x1·x2的值是 . x1+x2= . 2 3 变式:① = ; ②(x1+1)(x2+1)= ; ③x1²+x2²= ; 6 5 几种常见的关于x1,x2的对称式的恒等变形. 总结常见的求值: 求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入. 归纳 12 4. 已知x1、x2是关于的一元二次方程x2-6x+k=0的两个实数根,且(x1x2)2-x1-x2=115 (1)求k的值；（2）求x12+x22+8的值. 解：(1)∵x1,x2是方程x-6x+k=0的两个根 ∴x1+ x2=6 , x 1x2=k x1x2-x1-x2=115 ∴k2-6=115 解得k1=