2024年中考数学复习 重难题型分类练 题型四 圆的相关证明与计算

2024中考数学复习 重难题型分类练 题型四 圆的相关证明与计算 类型一　圆基本性质的证明与计算 1. (2023广东省卷)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB＝∠CDB. (1)试判断△ABC的形状，并给出证明； (2)若AB＝，AD＝1，求CD的长度． 　第1题图 2. (2023呼和浩特)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交线段CA的延长线于点E，连接BE. (1)求证：BD＝CD； (2)若tan C＝，BD＝4，求AE. 　第2题图 3. (2022贵阳)如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，点E是的中点，过点E作AB的垂线，交AB于点M，交⊙O于点N，分别连接EB，CN. (1)EM与BE的数量关系是________； (2)求证：＝； (3)若AM＝，MB＝1，求阴影部分图形的面积． 　第3题图 4. (2023宁波)如图①，⊙O为锐角三角形ABC的外接圆，点D在上，AD交BC于点E，点F在AE上，满足∠AFB－∠BFD＝∠ACB，FG∥AC交BC于点G，BE＝FG，连接BD，DG.设∠ACB＝α. (1)用含α的代数式表示∠BFD； (2)求证：△BDE≌△FDG； (3)如图②，AD为⊙O的直径． ①当的长为2时，求的长； ②当OF∶OE＝4∶11时，求cos α的值． 　第4题图 类型二　与切线有关的证明与计算 考向1　与全等三角形结合 5. (2023赤峰)如图，已知AB为⊙O的直径，点C为⊙O外一点，AC＝BC，连接OC，DF是AC的垂直平分线，交OC于点F，垂足为点E，连接AD，CD，且∠DCA＝∠OCA. (1)求证：AD是⊙O的切线； (2)若CD＝6，OF＝4，求cos ∠DAC的值． 　第5题图 考向2　与相似三角形结合 6. (2023常德)如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB于B，E是OA上的一点，ED∥BC交⊙O于D，OC∥AD，连接AC交ED于F. (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若AB＝8，AE＝1，求ED，EF的长． 　第6题图 7. (2023眉山)如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥DC，连接AC，BC. (1)求证：BC是∠ABD的角平分线； (2)若BD＝3，AB＝4，求BC的长； (3)在(2)的条件下，求阴影部分的面积． 　第7题图 8. (2023桂林)如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G交AC于点H. (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)延长AB和DC交于点E，若AE＝4BE，求cos ∠DAB的值； (3)在(2)的条件下，求的值． 　第8题图 考向3　与锐角三角函数结合 9. (2023临沂)如图，AB是⊙O的切线，B为切点，直线AO交⊙O于C，D两点，连接BC，BD，过圆心O作BC的平行线，分别交AB的延长线、⊙O及BD于点E，F，G. (1)求证：∠D＝∠E； (2)若F是OE的中点，⊙O的半径为3，求阴影部分的面积． 　第9题图 10. (2023贵港)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点．点O在AC边上，⊙O经过点C且与AB边相切于点E，∠FAC＝∠BDC. (1)求证：AF是⊙O的切线； (2)若BC＝6，sin B＝，求⊙O的半径及OD的长． 　第10题图 考向4　与其他结合 11. (2023天津)已知AB为⊙O的直径，AB＝6，C为⊙O上一点，连接CA，CB. (Ⅰ)如图①，若C为的中点，求∠CAB的大小和AC的长； (Ⅱ)如图②，若AC＝2，OD为⊙O的半径，且OD⊥CB，垂足为E，过点D作⊙O的切线，与AC的延长线相交于点F，求FD的长． 　 第11题图 源自人教九上P102第12题 12. (2023贵阳)如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的切线，C为切点，连接BC，ED垂直平分OB，垂足为E，且交于点F，交BC于点P，连接BF，CF. (1)求证：∠DCP＝∠DPC； (2)当BC平分∠ABF时，求证：CF∥AB； (3)在(2)的条件下，OB＝2，求阴影部分的面积． 　第12题图 参考答案与解析 1. 解：(1)△ABC为等腰直角三角形． 证明：∵AC为⊙O的直径， ∴∠ABC ＝90°，∠ADC ＝90°， ∵∠ADB ＝∠CDB， ∴∠ADB＝45°， ∴∠ACB＝∠ADB＝45°， ∴△ABC为等腰直角三角形； (2)由(1)知△ABC为等腰直角三角形，且AB＝， ∴AC＝AB＝×＝2， 在Rt△ACD中，AD＝1， ∴CD＝＝＝. 2. (1)证明：如解图，连接AD. ∵AB是⊙O的直径，