2024年河南省中考数学全国真题分类卷 第十一讲 二次函数与几何图形综合题

2024中考数学全国真题分类卷 第十一讲 二次函数与几何图形综合题 类型一　线段问题 1. (2023常德)如图，已知抛物线过点O(0，0)，A(5，5)，且它的对称轴为x＝2. (1)求此抛物线的解析式； (2)若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，当△OAB的面积为15时，求B的坐标； (3)在(2)的条件下，P是抛物线上的动点，当PA－PB的值最大时，求P的坐标以及PA－PB的最大值． 第1题图 类型二　面积问题 2. (2023青海省卷)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C. (1)求该抛物线的解析式； (2)若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长； (3)设点P是(1)中抛物线上的一个动点，是否存在满足S△PAB＝6的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第2题图 备用图 类型三　角度问题 3. (2023苏州)如图，二次函数y＝－x2＋2mx＋2m＋1 (m是常数，且 m＞0)的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F，连接AC，BD. (1)求A，B，C三点的坐标(用数字或含m的式子表示)，并求∠OBC 的度数； (2)若∠ACO＝∠CBD，求m的值； (3)若在第四象限内二次函数y＝－x2＋2mx＋2m＋1(m是常数，且m＞0)的图象上，始终存在一点P，使得∠ACP＝75°，请结合函数的图象，直接写出m的取值范围． 第3题图 备用图 类型四　特殊三角形判定问题 4. (2023滨州)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－2x－3与x轴相交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，连接AC，BC. (1)求线段AC的长； (2)若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA＝PC时，求点P的坐标； (3)若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标． 第4题图 备用图 类型五　特殊四边形判定问题 5. (2023毕节)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D(2，1)，抛物线的对称轴交直线BC于点E. (1)求抛物线y＝－x2＋bx＋c的表达式； (2)把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为h(h>0)，在平移过程中，该抛物线与直线BC始终有交点，求h的最大值； (3)M是(1)中抛物线上一点，N是直线BC上一点．是否存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 第5题图 备用图 类型六　相似三角形判定问题 6. (2023玉林)如图，已知抛物线：y＝－2x2＋bx＋c与x轴交于点A，B(2，0)(A在B的左侧)，与y轴交于点C，对称轴是直线x＝，P是第一象限内抛物线上的任一点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D为线段OC的中点，则△POD能否是等边三角形？请说明理由； (3)过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与△BMH相似，求点P的坐标． 第6题图 备用图 参考答案与解析 1. 解：(1)设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2＋h， 把O(0，0)，A(5，5)代入， 得，解得， ∴抛物线的解析式为y＝(x－2)2－4，即y＝x2－4x； (2)如解图①，记OA与直线x＝2的交点为C， 设直线OA的解析式为y＝kx，则5＝5k， 解得k＝1， ∴直线OA的解析式为y＝x， 将x＝2代入得y＝2，∴C(2，2). 设B(2，m)，则BC＝|m－2|， ∴S△OAB＝BC·|xA|＝|m－2|， ∵△OAB的面积为15， ∴|m－2|＝15， 解得m＝8或m＝－4， ∵点B在第一象限内， ∴m＞0，∴m＝8，故B(2，8)； 图① 图② 第1题解图 (3)如解图②，连接PA，PB，AB， ∵PA－PB≤AB， ∴当P，B，A在同一直线上时，PA－PB取得最大值，最大值为AB的长， ∵A(5，5)，B(2，8)， ∴AB＝＝3， 设直线AB的解析式为y＝px＋n(p≠0)， 将A(5，5)，B(2，8)分别代入， 得，解得， ∴直线AB的解析式为y＝－x＋10， 联立， 解得(舍去)，， ∴P(－2，12)， ∴当PA－PB的值最大时，点P的坐标为(－2，12)，PA－PB的最大值为3. 2. 解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3； (2)由(1)知，该抛物线的解析式为y＝x2－2x－3，则C(0，－3). ∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2