2024年九年级中考数学二轮复习课件-专题五 几何综合题

专题五　几何综合题 类型一　圆综合题 典例1 如图，AB与☉O相切于点A，半径OC∥AB，BC与☉O相交于点D，连接AD，AC. （1） 求证：∠OCA＝∠ADC； 解：（1） 如图，连接OA交BC于点F.∵ AB是☉O的切线，∴ OA⊥OB.∴ ∠OAB＝90°. ∵ OC∥AB，∴ ∠AOC＝∠OAB＝90°.∵ OC＝OA，∴ ∠OCA＝∠OAC＝45°.∵ ∠ADC＝∠AOC＝45°，∴ ∠OCA＝∠ADC. （2） 若AD＝2，tanB＝，求OC的长. 解：（2） 如图，过点A作AE⊥BC于点E，则∠AEB＝90°.在Rt△ADE中，∵ ∠ADE＝45°，∴ AE＝AD·sin∠ADE＝2×＝，DE＝AD·cos∠ADE＝2×＝.在Rt△ABE中，∵ tanB＝＝，∴ BE＝3AE＝3. 在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB＝＝＝2.在Rt△ABF中，∵ tanB＝＝，∴ AF＝AB＝.∵ OC∥AB，∴ ∠OCF＝∠B. ∴ tan∠OCF＝tanB.∴ 在Rt△COF中，tan∠OCF＝＝.∴ OC＝3OF.设OC＝r，则OF＝OA－AF＝r－.∴ r＝3 （r－），解得r＝.∴ OC＝. 跟踪训练 1. （2023·泉州惠安模拟）已知四边形ABCD内接于☉O，对角线AC，BD交于点E，且OA⊥BD. （1） 如图①，求证：CA平分∠BCD. 解：（1） ∵ OA⊥BD，∴ ＝. ∴ ∠ACB＝∠ACD，即CA平分∠BCD. （2） 如图②，BD为☉O的直径. ① 求证：BD2＝2AC·AE； 解：（2） ① ∵ BD为☉O的直径，∴ ∠BAD＝90°. ∵ OA⊥BD，OB＝OD，∴ OA垂直平分BD. ∴ AB＝AD.∴ ∠ABD＝∠ADB＝45°.∴ 在Rt△ABD中， AD＝BD·sin∠ABD＝BD.∵ ∠ACD＝∠ABD， ∴ ∠ACD＝∠ADB.又∵ ∠CAD＝∠DAE， ∴ △ADE∽△ACD.∴ ＝，即AD2＝AC·AE.＝AC·AE. ∴ BD2＝2AC·AE. ② 若AD＝3，AE＝2，求CD的长. 解：② 由①，得AD2＝AC·AE，AB＝AD. ∵ AD＝3，AE＝2， ∴ AC＝＝＝3，AB＝3. ∴ CE＝AC－AE＝. ∵ AD＝BD，∴ BD＝AD＝6. ∵ ∠ACD＝∠ABD，∠AEB＝∠DEC， ∴ △BAE∽△CDE. ∴ ＝＝. ∴ ＝. ∴ BE＝3＋或BE＝3－（不合题意，舍去）. 又∵ ＝.∴ ＝.∴ CD＝. 典例2 （2023·宁德模拟）如图①，OM为☉O的半径，G为OM的中点，过点G作AB⊥OM交☉O于点A，B，点D在优弧AB上运动，将AB沿AD方向平移得到DC，连接BD，BC. （1） 求∠ADB的度数； 解：（1） 如图①，连接OA，OB.∵ G为OM的中点，∴ OG＝OM. ∵ OA＝OM，∴ OG＝OA.∵ AB⊥OM，∴ 在Rt△AOG中，sin∠OAG＝＝.∴ ∠OAG＝30°.∵ OA＝OB，∴ ∠OAG＝∠OBG＝30°.∴ ∠AOB＝180°－∠OAG－∠OBG＝120°.∴ ∠ADB＝∠AOB＝60°. （2） 如图②，当点D在MO的延长线上时，求证：BC是☉O的切线. 解：（2） 如图②，连接OA，OB.由平移，得AD∥BC，∴ ∠BAD＋∠ABC＝180°.∵ OM⊥AB，∴ ＝.∴ AD＝BD.∵ ∠ADB＝60°，∴ △ABD是等边三角形.∴ ∠BAD＝60°.∴ ∠ABC＝180°－∠BAD＝120°.∴ ∠OBC＝∠ABC－∠OBG＝90°.∴ OB⊥BC.又∵ OB是☉O的半径，∴ BC是☉O的切线. 跟踪训练 2. （2023·厦门思明模拟）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，以BC为直径作☉O，☉O交AB于点D，P是上的一个点. （1） 如图①，若P是的中点，PE⊥AB，垂足为E，求证：直线PE是☉O的切线； 解：（1） 如图①，连接OP，CD交于点F.∵ BC是☉O的直径， ∴ ∠BDC＝90°.∵ P是的中点，∴ OP⊥CD.∴ ∠OFC＝∠BDC＝90°. ∴ OP∥AB.∵ PE⊥AB，∴ ∠AEP＝90°.∵ OP∥AB，∴ ∠OPE＝∠AEP＝90°.∴ OP⊥PE.又∵ OP是☉O的半径，∴ 直线PE是☉O的切线. （2） 如图②，连接AP，CP，若tan∠ACP＝，求∠APC的度数. 解：（2） 如图②，连接PB，过点A作AH⊥CP，交CP的延长线于点H.∵ BC是☉O的直径，AH⊥CP，∴ ∠H＝∠BPC＝90°.∴ ∠ACH＋∠CAH＝90°.∵ ∠ACB＝90°，∴ ∠ACH＋∠BCP＝90°.∴ ∠CAH＝∠BCP.又∵ AC＝CB，∴ △ACH≌△CBP.∴ AH＝CP. ∵ 在Rt