2024年九年级数学二轮复习课件-专题四 二次函数综合题

专题四　二次函数综合题 类型一　最值问题 典例1 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.已知点A的坐标是（－1，0），抛物线的对称轴是直线x＝1. （1） 直接写出点B的坐标. 解：（1） 点B的坐标为（3，0）. （2） 在对称轴上找一点P，使PA＋PC的值最小，并求点P的坐标和PA＋PC的最小值. 解：（2） 由题意，得抛物线对应的函数解析式为y＝a（x＋1）（x－3）＝ax2＋bx＋3， ∴ 点C的坐标为（0，3），a＝－1. ∴ 抛物线对应的函数解析式为y＝－x2＋2x＋3. 如图，连接BC，线段BC与直线x＝1的交点即为所求的点P. 设直线CB对应的函数解析式为y＝kx＋b'（k≠0）.把C（0，3）和B（3，0）代入，得解得∴ 直线CB对应的函数解析式为y＝－x＋3.在y＝－x＋3中，当x＝1时，y＝2，∴ 点P的坐标为（1，2）.∵ 直线x＝1垂直平分线段AB，∴ PA＝PB.∴ PA＋PC＝PB＋PC＝BC＝＝3. ∴ 点P的坐标为（1，2），PA＋PC的最小值为3. （3） 第一象限的抛物线上有一动点M，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，连接BC，交MN于点Q.依题意补全图形，当MQ＋CQ的值最大时，求点M的坐标. 解：（3） 如备用图.设点M的坐标为（t，－t2＋2t＋3），0＜t＜3，则点Q的坐标为（t，－t＋3）.∴ MQ＝－t2＋3t.∵ C（0，3），∴ CQ＝＝t.∴ MQ＋CQ＝－t2＋3t＋2t＝－t2＋5t＝－＋.∵ －1＜0，0＜t＜3，∴ 当t＝时，MQ＋CQ取最大值，此时点M的坐标为. 跟踪训练 1. （2023·张家界）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点A（－2，0），B（6，0），与y轴交于点C（0，6），D为线段BC上的一动点. （1） 求二次函数的解析式； 解：（1） 由题意，设二次函数的解析式为y＝a（x＋2）（x－6）.将C（0，6）代入，得6＝a·（0＋2）×（0－6），解得a＝－. ∴ 二次函数的解析式为y＝－（x＋2）（x－6）＝－x2＋2x＋6. （2） 如图①，求△AOD周长的最小值； 解：（2） 如图①，作点O关于直线BC的对称点E，OE交BC于点F，连接AE，DE，则OD＝ED，OE⊥BC.∴ ∠OFB＝∠OFC＝90°.∵ B（6，0），C（0，6），∴ OB＝OC＝6.∴ ∠OBF＝∠OCF＝（180°－∠BOC）＝45°.∴ tan∠OBF＝＝1，tan∠OCF＝＝1.∴ BF＝OF＝CF.∴ F为BC的中点.∴ F（3，3）. ∵ 点O，E关于BC对称，∴ E（6，6）.∵ A（－2，0），∴ AE＝＝10，OA＝2.∵ △AOD 的周长为AD＋OD＋OA＝AD＋ED＋2，∴ 当A，D，E三点共线时，AD＋ED的值最小，即△AOD的周长最小.∴ △AOD的周长的最小值为AE＋2＝12. （3） 如图②，过动点D作DP∥AC，交二次函数的图象在第一象限的部分于点P，连接PA，PB，记△PAD与△PBD的面积和为S，当S取最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的值. 解：（3） 如图②，连接PC，过点P作PQ∥y轴，交BC于点Q. ∵ DP∥AC，∴ S△PAD＝S△PCD.∴ S＝S△PAD＋S△PBD＝S△PCD＋S△PBD＝S△PBC＝S△PCQ＋S△PBQ.设点P的坐标为，0＜t＜6. ∵ B（6，0），C（0，6），∴ 直线BC对应的函数解析式为y＝－x＋6. ∴ 点Q的坐标为（t，－t＋6）.∴ PQ＝－t2＋3t.∴ S＝PQ·（xP－xC）＋PQ·（xB－xP）＝PQ·（xB－xC）＝（－t2＋3t）×6＝－t2＋9t＝－（t－3）2＋.∵ －＜0，0＜t＜6，∴ 当t＝3时，S取最大值，最大值为，此时点P的坐标为. 类型二　面积问题 典例2 （2022·福建）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx经过A（4，0），B（1，4）两点，P是抛物线上一点，且在直线AB的上方. 典例2图 （1） 求抛物线对应的函数解析式. （2） 若△OAB的面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标. （3） 如图，OP交AB于点C，PD∥BO，交AB于点D，记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S1，S2，S3.判断＋是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由. [思路点拨] 第（2）题，利用待定系数法求出直线AB对应的函数解析式，过点P作PM∥y轴，交AB于点M，分别表示△OAB和△PAB的面积，从而求出PM的长，进而可解决问题.第（3）题，由PD∥BO，可得△DPC∽△BOC，所以CP∶CO＝CD∶CB.所以＋＝.设直线AB交y轴于点F，过点P作PG∥y轴，交A