必修第一册基础知识梳理-2023-2024学年高中数学学业水平考试人教A版（2019）

高中数学（人教A版）必修一知识点总结 第一章 集合 1、元素与集合 （1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. （2）元素与集合的关系：属于 或 不属于 数学符号分别记为：和. （3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）. （4）常见数集和数学符号 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 或 ①确定性：给定的集合 它的元素必须是确定的；也就是说 给定一个集合 那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合 可知,在该集合中 ,不在该集合中； ②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说 集合中的元素是不重复出现的. 集合应满足. ③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合和是同一个集合. ④列举法 把集合的元素一一列举出来 并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法. ⑤描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法. 具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围 再画一条竖线 在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 2、集合间的基本关系 （1）子集（subset）：一般地 对于两个集合、 如果集合中任意一个元素都是集合中的元素 我们就说这两个集合有包含关系 称集合为集合的子集 记作（或） 读作“包含于”（或“包含”）. （2）真子集（proper subset）：如果集合 但存在元素 且 我们称集合是集合的真子集 记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”. （3）相等：如果集合是集合的子集（ 且集合是集合的子集（） 此时 集合与集合中的元素是一样的 因此 集合与集合相等 记作. （4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集 记作；是任何集合的子集 是任何非空集合的真子集. 3、集合的基本运算 （1）交集：一般地 由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合 称为与的交集 记作 即． （2）并集：一般地 由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合 称为与的并集 记作 即． （3）补集：对于一个集合 由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集 简称为集合的补集 记作 即． · 函数奇偶性、周期性、对称性 1. 函数奇偶性 1. 奇函数与偶函数的性质 函数 奇函数 偶函数 图象特征 关于原点对称 关于轴对称 代数定义 关于原点对称 单调性 原点两边相同 两边相反 其它 若有 则 / · 题型1：函数奇偶性判断 · 定义法：判断定义域→计算 · 常用结论法：见上表 · 赋值法： 1. 奇函数： 【证明】：令 令 1. 偶函数： 【证明】：令 令 令 · 题型2：奇偶函数的分段形式 如：为奇函数 时 求在上的解析式 由范围确定范围→确定表达式→确定解析式（偶同奇反） · 题型3：抽象不等式（方向：化成类似的形式） · 为定义在上的奇函数 且单调递减 · 为定义在上的偶函数 且在单调递减 1. 函数对称性 1. 中心对称 · 引入：若关于对称→为线段中点→ · 定义： · 常用结论：若为奇函数 则图象以为对称中心 1. 轴对称 · 引入：若关于对称→ · 定义： · 常用结论：若为偶函数 则以为对称轴 【代数证明】：设 则 有 所以以为对称轴 【几何证明】：图象是由图象向右平移个单位得来 由于为偶函数 对称轴为所以则以为对称轴 1. 函数周期性 · 图象特征：图象反复循环 以作为一个循环节 · 代数定义：在定义域内 · 周期与最小正周期：若函数具有周期性 则必有无数个非零实数满足 其中最小的正数称为最小正周期 其它周期可表示为 并不是所有函数均有最小正周期 如常函数 狄利克雷函数 · 常见可推导出周期的表达式 2. 2. 2. 以为对称轴: 2. 以为对称轴 为对称中心: · 类周期函数 ：图象每隔个单位 拉伸倍 · 指数函数 1. 指数函数的图象及其变换 1. 指数函数图象及其性质： 【定义域】 【单调性】时单调递增；时单调递减 【值域】 【恒过定点】 【底数对图象的影响】在第一象限内 底数越大 图象越靠近轴 1. 指数函数的图象变换及图象绘制 1. ：由向下平移一个单位后 沿着轴翻折 渐近线为 1. ：由偶函数图象向右平移个单位而得 1. 指数函数与二次函数的复合（一般为非奇非偶） 1. 令 则 1. 令 则 1. 令 则 1. 指数型复合函数的奇偶性、单调性、值域 2. 【奇偶性】奇函数 【单调性】在上单调递增 结论法证明：增+增=增 【值域】 2. 【奇偶性】偶函数 【单调性】在单调递减；在单调递增 定义法作差证明：任