第1部分 第7章 微专题 利用轴对称性质求最值和胡不归模型（课件PPT）-【智熊中考·1号学员】2024年河南中考数学精讲册

学科：数学 内容：精讲册课件 1 微专题　利用轴对称性质求最值和胡不归模型 方法1　 等积转化法 一、利用轴对称性质求最值 类型一　“一线两点”型（一个动点＋两个定点） 考向1.异侧线段和最小值问题 问题提出：两定点 A，B 位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得PA＋PB的值最小. 方法 1 解题思路：根据两点之间线段最短，PA＋PB 的最小值即为线段AB 的长，连接 AB 交直线l于点P，点P即为所求. 牛刀小试 1.如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD上的动点，E是AB边上一点，且AE＝2，则线段EF＋CF的最小值为 　​　⁠. ​ 考向2.同侧线段和最小值问题 问题提出：两定点 A，B 位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得PA＋PB的值最小. 解题思路：将两定点同侧问题转化为异侧问题，利用异侧线段和最小值问题即可解决. （注：也可以作点 A 关于直线l的对称点A'，连接A'B，与直线l交于点P，点P即为所求） 牛刀小试 2.（2023·潍坊模拟）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，F，若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，若三角形CDM的周长的最小值为13，则等腰三角形ABC的面积为 　30　⁠. 30 （第2题图） 3.（2023·广安）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm 的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，求蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程.（杯壁厚度不计） （第3题图） 解：如图，将玻璃杯侧面展开，作B关于EF的对称点B'，作B'D⊥AE，交AE延长线于点D，连接AB'. 由题意得DE＝BB'＝1 cm，AE＝9－4＝5（cm），∴AD＝AE＋DE＝6 cm. ∵底面周长为16 cm，∴B'D＝×16＝8（cm），∴AB'＝＝10 cm，由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为AB'＝10 cm. 考向3.同侧线段差最大值问题 问题提出：两定点 A，B 位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得的值最大. 解题思路：连接AB 并延长，与直线l交于点P， 点P 即为所求. 牛刀小试 4.如图，点A、B在直线EF的同一侧，AC⊥EF于点C，BD⊥EF于点D，AC＝2，BD＝CD＝4.点Q是直线EF上的一个动点，AQ＋BQ的最小值为a，｜AQ－BQ｜的最大值为b，则a2＋b2的值为 　72　⁠. 72 考向4.异侧线段差最大值问题 问题提出：两定点 A，B 位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得的值最大. 解题思路：将两定点异侧问题转化为同侧问题，利用同侧线段差最大值问题，即可解决. （注：也可以作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B并延长，与直线l交于点P，点P 即为所求.） 牛刀小试 5.如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，点E为射线AD上一点，∠BAD＝15°，连接BE，CE，则CE－BE的最大值为 　4　⁠. 4 类型二　“一点两线”型（两个动点＋一个定点） 考向1.利用轴对称求周长最小值问题 问题提出：点P是∠AOB 的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN的周长最小. 解题思路：要使△PMN的周长最小，即PM＋MN＋PN的值最小，根据两点之间线段最短，将三条线段转化到同一直线上. 牛刀小试 6.如图，已知∠AOB＝30°，点P是∠AOB内部的一点，且OP＝4，点M、N分别是射线OA和射线OB上的一动点，求△PMN的周长的最小值是 　4　⁠. 4 考向2.利用轴对称和垂线段最短求线段和最小值问题 牛刀小试 7.如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＝4，BC＝12，∠ABC＝60°，点E、F是AD边上的动点，且EF＝2，则四边形BEFC周长的最小值为 　14＋2　⁠. （第7题图） 14＋ 2 8.如图，四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，则∠EAF的度数 　80°　⁠. （第8题图） 80° 二、利用“胡不归”模型求加权线段和的最值 问题提出：点A 为直线l上一定点，点B为直线l外一定点，在直线l上找一点P，使得kAP＋BP（0＜k＜1）的值最小. 解题方法： 一找：找带有加权系数k的线段AP； 二构：构造以线段AP为斜边的直角三角形； ①以定点A为顶点作∠NAP，使sin∠NAP＝k； ②过动点P作垂线，构造Rt△APE； 三转化：化斜为直，将加权线段kAP转化为PE； 四求解：加权线段和kAP＋BP＝PE＋BP，利用“垂线段最短”转化为求BF的