第1部分 第6章 微专题 圆中有关的解题技巧（课件PPT）-【智熊中考·1号学员】2024年河南中考数学精讲册

学科：数学 内容：精讲册课件 1 微专题　圆中有关的解题技巧 方法1　遇到弦时（解决有关弦的问题时） 【方法技巧】常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连接过弦的端点的半径.作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量. 1.（武汉中考）如图，在半径为3的☉O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E.若E是BD的中点，求AC的长. 解：如图，连接OD，交AC于F. ∵D是弧AC的中点， ∴OD⊥AC，AF＝CF，∴∠DFE＝90°. ∵OA＝OB，AF＝CF，∴OF＝BC. ∵AB是直径，∴∠ACB＝90°. ∵E是BD的中点， ∴DE＝BE. 在△EFD和△ECB中，∠DFE＝∠ACB＝90°，∠DEF＝∠BEC，DE＝BE， ∴△EFD≌△ECB（AAS），∴DF＝BC，∴OF＝DF. ∵OD＝3，∴OF＝1，∴BC＝2. 在Rt△ABC中，AC2＝AB2－BC2，∴AC＝4. 方法2　遇到有直径时 【方法技巧】常常添加（画）直径所对的圆周角.作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形. 2.如图，AB为☉O的直径，C，D是☉O上的两点，连接CA，CD，AD.若∠CAB＝40°，求∠ADC的度数. 解：如图，连接BC. ∵AB为☉O的直径，∴∠ACB＝90°， ∴∠B＝90°－∠CAB＝90°－40°＝50°. ∵∠B＋∠ADC＝180°， ∴∠ADC＝180°－50°＝130°. 方法3　遇到90°的圆周角时 【方法技巧】常常连接两条弦没有公共点的另一端点.作用：利用圆周角的性质，可得到直径. 例3　如图，已知在等腰△ABC中，∠A＝∠B＝30°，过点C作CD⊥AC交AB于点D.求证：BC是过A，D，C三点的圆的切线 解：（1）作出圆心O， 以点O为圆心，OA长为半径作圆. （2）证明：∵CD⊥AC，∴∠ACD＝90°，∴AD是☉O的直径. 如图，连接OC.∵∠A＝∠B＝30°，∴∠ACB＝120°.又∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A＝30°， ∴∠BCO＝∠ACB－∠ACO＝120°－30°＝90°，∴BC⊥OC，∴BC是☉O的切线. 方法4　遇到弦时解决有关角的问题时 【方法技巧】常常连接圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连接圆周上一点和弦的两个端点.作用：①可得等腰三角形；②据圆周角的性质可得相等的圆周角. 4.如图，△ABC是☉O的内接三角形，AD是☉O的直径，若∠ABC＝50°，求∠CAD的度数. 解：如图，连接CD.则∠ADC＝∠ABC＝50°. ∵AD是☉O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠CAD＋∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝90°－∠ADC＝90°－50°＝40°. 12 方法5　遇到证明某一直线是圆的切线时 【方法技巧】　（1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径；（2）若直线过圆上的某一点，则连接这点和圆心（即作半径），再证其与直线垂直. 5.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，交AB于点D，以点D为圆心，DA为半径的☉D与AB相交于点E. （1）判断直线BC与☉D的位置关系，并证明你的结论. 解：（1）直线BC与☉D相切. 理由：如图，过D作DF⊥BC于F， ∴∠CFD＝∠A＝90°. ∵CD平分∠ACB，∴DA＝DF， ∴直线BC与☉D相切； （2）若AC＝3，BC＝5，求BE的长. 解：（2）∵∠BAC＝90°，AC＝3，BC＝5， ∴AB＝＝4. 在Rt△ACD与Rt△FCD中， ∴Rt△ACD≌Rt△FCD（HL）， ∴CF＝AC＝3，∴BF＝2. ∵BF是☉D的切线，∴BF2＝BA·BE， ∴BE＝＝＝1. 方法6　遇到有切线时，辅助线的作法 【方法技巧】（1）常常添加过切点的半径（连接圆心和切点）.作用：利用切线的性质定理可得到直角或直角三角形；（2）常常添加连接圆上一点和切点.作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理. 6.如图，☉O是△ABC的外接圆，AB是☉O的直径，∠DCA＝∠B. （1）求证：CD是☉O的切线； 证明：（1）如图，连接OC. ∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠A. ∵AB是☉O的直径，∴∠BCA＝90°， ∴∠A＋∠B＝90°. ∵∠DCA＝∠B，∴∠OCA＋∠DCA＝∠OCD＝90°， ∴OC⊥CD，∴CD是☉O的切线； （2）若DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F，求证：△DCF是等腰三角形. 证明：（2）∵∠OCA＋∠DCA＝90°，∠OCA＝∠A， ∴∠A＋∠DCA＝90°. ∵DE⊥AB，∴∠A＋∠EFA＝90°，∴∠DCA＝∠EFA. ∵∠EFA＝∠DFC，∴