第1部分 第4章 微专题 与角平分线有关的辅助线的作法（课件PPT）-【智熊中考·1号学员】2024年河南中考数学精讲册

学科：数学 内容：精讲册课件 1 微专题　与角平分线有关的辅助线的作法 图中有角平分线，可向两边作垂线 类型 1 　　已知P是∠MON的平分线上一点，若PA⊥OM于点A，如图，可以过P点作PB⊥ON于点B，则PB＝PA.可记为“图中有角平分线，可向两边作垂线”. 牛刀小试 1.如图，四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝8，BD＝13，BC＝12，求四边形ABCD的面积. 解：如图，过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，则∠E＝∠C＝90°， ∵∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，∴DE＝DC， 在Rt△BCD中，由勾股定理得：CD＝＝＝5， ∴DE＝5， 在Rt△BED中，由勾股定理得：BE＝＝＝12， ∵AB＝8，∴AE＝BE－AB＝12－8＝4， ∴四边形ABCD的面积S＝S△BCD＋S△BED－S△AED＝·BC·CD＋·BE·DE－·AE·DE＝50. 作对称图形 类型 2 　　若点A是射线OM上任意一点，如图，可以在ON上截取OB＝OA，连接PB，构造△OPB≌△OPA.可记为“图中有角平分线，可以将图对折看，对称以后关系线”. 牛刀小试 2.如图所示，在△ABC，∠A＝100°，∠ABC＝40°，BD平分∠ABC交AC于点D，延长BD至点E，使ED＝AD，连接CE.求证：BC＝AB＋CE. 证明：如图所示，在BC上取一点F使得BF＝AB，连接DF， ∵∠A＝100°，∠ABC＝40°，∴∠ACB＝∠ABC＝40°， ∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠FBD＝20°， 在△ABD和△FBD中， ∴△ABD≌△FBD（SAS），∴∠ADB＝∠FDB，AD＝DF， 又∵AD＝ED，∠ADB＝∠EDC， ∴∠ADB＝∠FDB＝∠CDE＝180°－100°－20°＝60°，FD＝ED， ∴∠FDC＝180°－∠ADB－∠FDB＝60°＝∠EDC， 在△CDE和△CDF中， ∴△CDE≌△CDF（SAS）， ∴CE＝CF，∴BC＝BF＋CF＝AB＋CE. 角平分线加垂线，延长作“三线合一” 类型 3 　　若AP⊥OP于点P，如图，可以延长AP交ON于点B，构造△AOB是等腰三角形，P是底边AB的中点可记为“角平分线加垂线，三线合一试试看”. 牛刀小试 3.如图，△ABC的面积为12 cm2，AP垂直∠ABC的平分线BP于点P，求△PBC的面积. 解：如图，延长AP交BC于点D， ∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠DBP， ∵AP⊥BP，∴∠APB＝∠DPB＝90°， 在△APB和△DPB中， ∴△APB≌△DPB（ASA），∴S△ABP＝S△DBP＝S△ABD，AP＝DP， ∴△ACP和△DCP等底同高， ∴S△ACP＝S△DCP＝S△ACD， ∴S△PBC＝S△DPB＋S△DCP＝（S△ABD＋S△ACD）＝S△ABC， ∵△ABC的面积为12 cm2，∴S△PBC＝×12＝6 cm2. 作平行线 类型 4 　　若过P点作PQ∥ON交OM于点Q，如图，可以构造△POQ是等腰三角形，可记为“角平分线＋平行线，等腰三角形必呈现”. 牛刀小试 4.如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝6，BD平分∠ABC，求的值. 解：如图，过点D作DE∥AB交BC于点E，则∠ABD＝∠BDE， ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠BDE＝∠DBE， ∴DE＝BE，设DE＝BE＝x，则CE＝6－x， ∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB， ∴＝，即＝，解得x＝2，∴＝＝2. $$