第1部分 第4章 微专题 相似三角形常见模型（课件PPT）-【智熊中考·1号学员】2024年河南中考数学精讲册

学科：数学 内容：精讲册课件 1 微专题　相似三角形常见模型 A字型与“8”字型 类型 1 【总结】 若DE∥BC，则△ADE∽△ABC. 3 1.如图，MN经过△ABC的顶点A，MN∥BC，AM＝AN，MC交AB于D，NB交AC于E，连接DE （1）求证：△ADE∽△ABC. （1）证明：∵MN∥BC， ∴∠DAM＝∠DBC，∠DMA＝∠DCB， ∴△DAM∽△DBC，∴＝， 同理：＝. ∵AM＝AN，∴＝＝＝，∴＝，∵∠BAC＝∠DAE，∴△ADE∽△ABC， （2）如果DE＝1，BC＝3，求MN的长. （2）解：∵△ADE∽△ABC，DE＝1，BC＝3. ∴＝＝＝，∴＝＝， 由（1）得＝＝＝，∴＝＝， ∵AM＝AN＝，∴MN＝3. 反“A”字型及斜“8”字型 类型 2 【总结】 若∠1＝∠2，则△ADE∽△ABC. 2.（2023·建省福州延安中学期末）如图，点C是△ABD边AD上一点，且满足∠CBD＝∠A. （1）证明：△BCD∽△ABD； （1）证明：在△BCD与△ABD中 ∠CBD＝∠A，∠D＝∠D，∴△BCD∽△ABD； （2）若BC∶AB＝3∶5，AC＝16，求BD的长. （2）解：∵△BCD∽△ABD，∴＝＝，即＝＝， ∴BD＝AD，CD＝BD，∴CD＝×AD， 又∵AD＝AC＋CD，AC＝16， ∴CD＝××（16＋CD），解得：CD＝9， ∴AD＝AC＋CD＝25，∴BD＝AD＝15. 3.在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，过点B作BD⊥AC，垂足为点D. （1）求BD∶CD的值； 解：（1）如图，过A作AF⊥BC于F，则∠AFC＝90°， ∵AB＝AC＝5，BC＝6， ∴BF＝CF＝BC＝3，则AF＝＝＝4， ∵BD⊥AC， ∴∠BDC＝∠AFC＝90°，又∠BCD＝∠ACF， ∴△BDC∽△AFC，∴＝，∴BD∶CD＝AF∶CF＝4∶3，即BD∶CD的值为； （2）点E是BD延长线上一点，连接CE，当∠ABD＝∠ACE时，求线段CE的长. 解：（2）∵∠ABD＝∠DCE，∠ADB＝∠EDC， ∴△ABD∽△ECD，∴＝＝，∴CE＝AB＝. 手拉手模型 类型 3 【总结】 △ADE∽△ABC且△ADE、△ABC都是等腰三角形 4.如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上一点，且△CDE∽△CAB. （1）求证：△CAD∽△CBE； 证明：（1）∵△CDE∽△CAB，∴＝，∠ACB＝∠DCE，∴＝， ∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，∴∠ACD＝∠ECB，∴△CAD∽△CBE. （2）求证：EB⊥AB. 证明：（2）∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠ABC＝90°， 由（1）知：△CAD∽△CBE，∴∠A＝∠CBE，∴∠CBE＋∠ABC＝90°， ∴∠ABE＝90°，∴EB⊥AB. 一线三等角模型 类型 4 【总结】 若∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE. 5.感知∶ （1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，∠BAD＝∠ACB＝∠AED＝90°，由∠1＋∠2＋∠BAD＝180°，∠2＋∠D＋∠AED＝180°，可得∠1＝∠D；又因为∠ACB＝∠AED＝90°，可得△ABC∽△DAE，进而得到＝ 　　　　⁠.我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型. 应用∶ 解：（1）∵△ABC∽△DAE∴＝.故答案为：； （2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在△ABC中，点D在边BC上，并且DA＝DE，∠B＝∠ADE＝∠C.若BC＝a，AB＝b，求CE的长度（用含a，b的代数式表示）. 拓展∶ 解：（2）∵∠B＝∠ADE＝∠C，∠ADC＝∠B＋∠BAD，∠ADC＝∠ADE＋∠EDC， ∴∠EDC＝∠BAD. 又∵DA＝DE，∴△ADB≌△DEC，∴BD＝EC，AB＝DC＝b， ∴BD＝BC－DC＝a－b.即CE＝a－b. （3）创新组突发奇想，将此模型迁移到平行四边形中，如图3，在平行四边形ABCD中，E为边BC上的一点，F为边AB上的一点.若∠DEF＝∠B.求证∶AB·FE＝BE·DE. 解：（3）证明：∵∠DEF＝∠B，∴∠BFE＋∠BEF＝∠BEF＋∠DEC，∴∠BFE＝∠DEC. 作CG∥FE交DE于点G，如图. ∴∠DEF＝∠EGC，∴∠B＝∠EGC，∴△FBE∽△EGC，∴＝. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＋∠BCD＝180°. ∵∠EGC＋∠DGC＝180°，且∠B＝∠EGC，∴∠DGC＝∠BCD. 又∵∠EDC＝∠CDG∴△DGC∽△DCE，∴＝，∴＝， ∴DC·FE＝BE·DE. 又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，∴AB·FE＝BE·DE. $$