第1部分 第4章 微专题 半角模型（课件PPT）-【智熊中考·1号学员】2024年河南中考数学精讲册

学科：数学 内容：精讲册课件 1 微专题　半角模型 模型1　平移模型 类型 图形展示 90°角含45°角 ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ 类型 图形展示 90°角含45°角 ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ 类型 图形展示 120°角含60°角 ⁠ ⁠ 牛刀小试 【模型引入】 　　当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型” 【模型探究】 （1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，探究图中线段EF，AE，FC之间的数量关系. 证明：如题图1，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM， ∴△DAE≌△DCM， ∴DE＝DM，AE＝CM，∠ADE＝∠CDM，B、C、M三点共线， ∵∠EDF＝45°， ∴∠ADE＋∠FDC＝∠CDM＋∠FDC＝∠MDF＝45°， 在△DEF和△DMF中，， ∴△DEF≌△DMF（SAS）， ∴EF＝FM，∴EF＝FM＝FC＋CM＝FC＋AE； 解：（1）EF＝FC＋AE，理由如下： 【模型应用】 （2）如图2，如果四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠EAF＝45°，且BC＝7，DC＝13，CF＝5，求BE的长. （2）解：如图2，在DC上取一点G，使得DG＝BE， ∵∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴∠ABC＋∠D＝180°，∵∠ABE＋∠ABC＝180°，∴∠ABE＝∠D， 图2 ∵AB＝AD，BE＝DG，∴△ABE≌△ADG（SAS）， 图2 ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG， ∵∠EAF＝45°，∴∠EAB＋∠BAF＝∠DAG＋∠BAF＝45°， ∵∠BAD＝90°，∴∠FAG＝∠FAE＝45°， ∵AE＝AG，AF＝AF，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF＝FG， 设BE＝x，则EC＝EB＋BC＝x＋7，EF＝FG＝18－x， 在Rt△ECF中，∵EF2＝EC2＋CF2， ∴52＋（7＋x）2＝（18－x）2，∴x＝5，∴BE＝5； 【拓展提高】 （3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC与∠ADC互补，点E、F分别在射线CB、DC上，且∠EAF＝∠BAD.当BC＝4，DC＝7，CF＝1时，△CEF的周长等于 　13　⁠. 13 （4）如图4，正方形ABCD中，△AMN的顶点M、N分别在BC、CD边上，AH⊥MN，且AH＝AB，连接BD分别交AM、AN于点E、F，若MH＝2，NH＝3，DF＝2，求EF的长. （4）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°， ∵AH⊥MN，∴∠AHM＝∠ABC＝90°， 在Rt△AMB和Rt△AMH中， ∴Rt△AMB≌Rt△AMH（HL），∴∠MAB＝∠MAH，BM＝MH＝2， 同理可证Rt△AND≌Rt△ANH， ∴∠NAD＝∠NAH，DN＝NH＝3， ∴2∠MAH＋2∠NAH＝90°，∴∠MAH＋∠NAH＝45°，∴∠MAN＝45°. 设正方形的边长为a， ∴CM＝a－2，CN＝a－3， 根据勾股定理得，（a－2）2＋（a－3）2＝25， ∴a＝－1（舍）或a＝6，∴BC＝6，∴BD＝6， 逆时针旋转△ABE至△ADG，如图4， 图4 图4 ∴△ABE≌△ADG，∴AE＝AG，∠ABE＝∠ADG＝45°， ∴∠GDF＝∠ADG＋∠ADB＝90°， 连接GF，根据勾股定理得，GF2＝DG2＋DF2＝BE2＋DF2， ∵△ABE≌△ADG，∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG， ∴∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝90°－∠EAF＝45°＝∠EAF， ∵AF＝AF，∴△GAF≌△EAF， ∴GF＝EF，∴EF2＝BE2＋FD2；设EF＝x， ∵BD＝6，DF＝2. ∴BE＝6－2－x＝4－x， ∴（4－x）2＋（2）2＝x2，解得x＝，∴EF＝； 16 （5）如图5，已知菱形ABCD中，∠B＝60°，点E、F分别是边BC，CD上的动点（不与端点重合），且∠EAF＝60°.连接BD分别与边AE、AF交于M、N，当∠DAF＝15°时，求证：MN2＋DN2＝BM2. （5）证明：将△ADF绕A顺时针旋转120°，此时AD与AB