第16讲 隐圆问题 2023--2024年九年级寒假讲义(人教版)

第二部分 综合篇之模型篇 第16讲 隐圆问题 本讲义整体上难度偏难，题目有一定的分层，题量略大！ 模型一 定点定长 模型解释 左图中，若点是定点，，则在以点为圆心的圆上； 右图中，若点是定点，是定长，则动点在以点为圆心，半径为的圆上. 模型二 四点共圆 模型解释 左图中，若，则四点共圆； 右图中，若，则四点共圆. 模型三 定角定线 定角定线包括了“直角所对的是直径”、“定弦定角”、“定角定中线”、“定角定平分线”、“定角定高”、“定角定周长”. 情况1 直角所对的弦是直径 模型解释 点是定点，动点满足，则动点的轨迹是以为直径的圆. 情况2 定弦定角 模型解释 定弦定角指的是一个三角形中有一组对角对边是定值； 比如上面两图中在中，，(是定值)， 若是定点，是动点，则动点的轨迹是个圆，圆心在线段中垂线上且满足（是锐角时）或（是钝角时）. 结论 圆是的外接圆，且半径为，则. 证明 当是锐角时，作直径，连接，则， 在中，， 又，所以，即. 当是直角或钝角也易证. （这结论在定弦定角问题较易可得隐圆的半径） 【题型1】 定点定长 【典题1】如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，，，点E在线段BC上一动点，连接AE，将△ABE沿着AE翻折，得△AFE，连接CF、DF．则△CDF面积的最小值为　 　． 【巩固练习】 1. (★★)如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，则A′C的长的最小值是(　　) A． B． C． D． 2. (★★)如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点(点P不与B，C重合)，连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为(　　) A．2 B． C．3 D． 3. (★★★)如图，点A，B的坐标分别为A(4，0)，B(0，4)，C为坐标平面内一点，BC=2，点M为线段AC的中点，连接OM，OM的最大值为 　． 【题型2】 四点共圆 【典题1】 已知：在中，，，为上一点，，，，则的长 　　 ． 【巩固练习】 1. (★★)如图，矩形ABCD的对角线相交于O，过点O作OE⊥BD，交AD点E，连接BE，若∠ABE＝20°，则∠AOE的大小是(　　) A．10° B．15° C．20° D．30° 2. (★★★)如图，已知矩形中，，，点是边上的一动点(不与，重合)，过作于点，过作于点，作于点，连接，则当取到最大值时，的长为 . 3. (★★★)如图，已知中，，，，，过点C作的垂线，与的延长线交于点，则的最大值为　 　． 【题型3】 直角所对的弦是直径 【典题1】 如图，正方形ABCD中，AB=2，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，则线段DP的最小值为 　 ． 【巩固练习】 1. (★★)如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一点，连接PA，PC，PD，若PA⊥PD，则PC的最小值为(　　) A． B． C．2 D．4 2. (★★)如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，点P从C点出发，沿CB运动到点B停止，过点B作射线AP的垂线，垂足为Q，点Q运动的路径长为(　　) A． B． C． D． 3. (★★★)Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝4，BC＝3，P是△ABC内部的一个动点，满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为 。 4. (★★★)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，AB＝10，D 是BC上一动点，CE⊥AD于E，EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是 。 5. (★★★★)如图，直线分别与x轴、y轴相交于点M，N．点P在平面内．∠MPN＝90°，点C(0，3)，则PC长度的最小值是 　 　． 【题型4】定弦定角 【典题1】如图，已知四边形中，，，，对角线，则的最大值为　 　． 【巩固练习】 1. (★★★)如图，在锐角△ABC中，AB＝2，，∠ABC＝60°．D是平面内一动点，且∠ADB＝30°，则CD的最小值是 　　． 2. (★★★)如图，△ABC为等边三角形，AB＝2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则点P运动的路径长为　 　． 3. (★★★)如图示，A，B两点的坐标分别为(﹣2，0)，(3，0)，点C在y轴上，且∠ACB＝45°，则点C的坐标为 　 　． 4. (★★★★)如图，在