第15讲 瓜豆原理 2023--2024学年九年级数学寒假讲义(人教版)

第二部分 综合篇之模型篇 第15讲 瓜豆原理 本讲义整体上难度偏难，题目有一定的分层，题量略大！ 在一类动点问题中涉及两个动点，，动点在某图形上，而动点与存在某种数量和位置关系，我们要确定动点的轨迹，从而解决相关问题. 我们把点叫主动点，叫从动点. 古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”． 以下我们看看几个例子. 一 轨迹为圆 例 如图，是半径为的圆上一个动点，为定点，点满足且． 判断动点的轨迹． 解析 连接，过点作，使得， 因为，所以， 又因为，所以， 所以， 所以动点的轨迹是以为圆心，半径为的圆. 模型总结 是圆上一个动点，为定点，点满足且，则动点的轨迹是圆. 解释 (1) 和是定值，即主动点、从动点与定点连线的夹角是定值、主动点、从动点到定点的距离之比是定值； (2) 证明思路是构造相似三角形，与的关系相当于旋转+伸缩，故圆心的位置与圆的半径，均可由其证明思路可得. 二 轨迹是线 例 如图，是线段上一动点，点满足且，当点在线段上运动时，判断动点的轨迹. 解析 连接，作以为直角边的等腰直角三角形， 相当于当运动到时，动点为落在处， 连接，交于， 因为，所以， 又因为，所以， 所以， 所以， 即，即动点的轨迹是过点且垂直于线段的一条线段. 模型总结 如图，是线段上一动点，点满足且，则动点轨迹是线段. 解释 (1) 和是定值，即主动点、从动点与定点连线的夹角是定值、主动点、从动点到定点的距离之比是定值； (2) 证明思路也是相似三角形，与的关系相当于旋转+伸缩，动点所在的直线与点所在直线的夹角为； (3) 点是点分别在点、时所在之处.故点轨迹线段是很好确定位置和长度的. 【题型1】 点在圆上 【典题1】如图，正方形ABCD中，，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．则线段OF长的最小值为 ． 【巩固练习】 1. (★★)如图，已知点A是第一象限内的一个定点，点P是以O为圆心、1个单位长为半径的圆上的一个动点，连接AP，以AP为边在AP右侧作等边三角形APB．当点P在⊙O上运动一周时，点B运动的路径长是 　 　． 2. (★★)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，D是以点A为圆心，3为半径的圆上一点，连接BD，M是BD的中点，则线段CM长度的最小值为 . 3. (★★)如图，点P（3，4），圆P半径为2，A（2.8，0），B（5.6，0），点M是圆P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是_______． 4. (★★★)△ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC为边在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为______． 5. (★★★★)如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为B． (1)求抛物线解析式； (2)若点M为x轴下方抛物线上一动点，当点M运动到某一位置时，△ABM的面积等于△ABC面积的，求此时点M的坐标； (3)如图2，以B为圆心，2为半径的⊙B与x轴交于E、F两点(F在E右侧)，若P点是⊙B上一动点，连接PA，以PA为腰作等腰Rt△PAD，使∠PAD＝90°(P、A、D三点为逆时针顺序)，连接FD．求FD长度的取值范围． 【题型2】 点在直线上 【典题1】 如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值是 ？ 【巩固练习】 1. (★★)如图，已知点A(﹣3，0)，B(0，3)，C(﹣1，4)，动点P在线段AB上，点P、C、M按逆时针顺序排列，且∠CPM＝90°，CP＝MP，当点P从点A运动到点B时，则点M运动的路径长为　 　． 2. (★★)如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，∠A＝30º，BC＝2，D是AB上一动点，以DC为斜边向右侧作等腰Rt△DCE，使∠CED＝90º，连接BE，则线段BE的最小值为 . 3. (★★★)如图，∠AOB＝30°，OD＝4，当点C在OA上运动时，作等腰Rt△CDE，CD＝DE，则O，E两点间距离的最小值为　 　． 4. (★★★★)如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y＝﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点Q'，连接OQ'，则OQ'的最小值为 . 5.如图①，在矩形ABCD中