第14讲 阿氏圆模型 2023--2024学年九年级数学寒假讲义(人教版)

贵哥讲初中数学 第二部分 综合篇之模型篇 第14讲 阿氏圆模型 本讲义整体上难度偏难，题目有一定的分层，题量略大！ 一 阿波罗尼斯圆定理 如图，是平面上一动点，是两定点，且 ，则点的轨迹是圆. 证明 作的角平分线交于点，根据角平分线定理，， 故点为定点，即的角平分线交于定点； 作外角平分线交直线于点，根据外角平分线定理，， 故点为定点，即外角平分线交直线于定点； 又，故点轨迹是以为直径的圆． 二 阿氏圆模型  “”型最值问题是初中数学的热点与难点.当时，即可转化为“”之和最短问题，便可用我们常见的“将军饮马”模型来解决.  当时，常规的轴对称思想无法使用.因此我们想要通过转化，把题目变为我们熟悉的模型，在这个过程中产生了两种模型. 当动点在直线上运动的类型称之为“胡不归”模型；点在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”模型. 如下图，⊙O的半径为，点 都在外，是 上一动点，已知， 连接，则当“”的值最小时，点的位置如何确定？ 解析   如图1，在线段上截取使 ，则有与 相似(利用对应边成比例)，由此可得(转化成功)。 故本题求“”的最小值可以转化为“”的最小值， 故当 三点共线时，“”值最小。如图2. 做题时最关键步骤就是“转化”，即在上找到点，使得。 【题型1】 阿氏圆模型转化为两线段和的技巧 【典题1】 如图，在中，，， 以点为圆心，为半径作圆，分别交于两点，点是圆上一个动点，则的最小值为______． 【题型2】阿氏圆模型 “”（） 【典题1】 如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，以C为顶点的正方形CDEF(C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列)可以绕点C自由转动，且CD＝2，连接AF，BD，在正方形CDEF旋转过程中，的最小值为 　　． 【巩固练习】 1. (★★)如图，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，⊙B的半径为2，P为⊙B上一动点，则的最小值为 . 2. (★★)如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC的中点，以B为圆心，BE为半径作⊙B，点P是⊙B上一动点，连接PD、PC，则PD+PC的最小值为 　 　． 3. (★★★)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D为△ABC内一动点，且满足CD＝2，则的最小值为 　　． 4. (★★★)如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，C是OA的中点，D是OB上一点，OD＝5，P是上一动点，则PC+PD的最小值为 　　． 5. (★★★)如图所示，在平面直角坐标系中，A(16，0)，B(0，12)，点C是第一象限的动点且OC＝6，线段OC绕点O在第一象限转动； (1)在转动过程中，求点C到AB的最近距离＝　　； (2)试求的最小值＝　　． 6. (★★★★)如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一个交点为B． (1)求抛物线的解析式及B点坐标； (2)若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积； (3)如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+PA的值最小为　　．(直接写出结果) 【题型3】阿氏圆模型的变形 【典题1】 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D．连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是 　 ． 【巩固练习】 1. (★★★)如图，在平面直角坐标系中，A(2，0)、B(0，2)、C(4，0)、D(3，2)，P是△AOB外部的第一象限内一动点，且∠BPA＝135º，则2PD＋PC的最小值是 . 2. (★★★)如图，等边△ABC的边长6，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则2PB+PC的最小值为 　　． 3. (★★★)如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆O，P为圆O上一动点，则PA+PB的最小值为 　　． 4. (★★★)如图，已知菱形ABCD的边长为8，∠B＝60°，圆B的半径为4，点P是圆B上的一个动点，则PD﹣PC的最大值为 　　 ． 5. (★★★★)如图1，正方形OABC边长是2，以OA为半径作圆，P为弧AC上的一点，过点P作PM⊥AB交AB于点M，连结PO、PA，设PM＝m，PA＝n． (1)求证：∠POA＝2∠PAM； (2)探求m、n的数量关系，并求n﹣m最大值； (3)如图2：连结PB，设PB＝h