专题：分式方程的增根与无解问题2023-2024学年人教版八年级数学上册

专题：分式方程的增根与无解问题 1、 增根的定义： 在去分母，将分式方程转化为整式方程的过程中出现的不适合于原方程的解。 增根是去分母后所得整式方程的根。 二、增根产生的原因 增根的产生是在解分式方程的第一步“去分母”时造成的。 解分式方程时，原分式方程与变形后的整式方程中未知数的取值范围不同。把原方程转化为整式方程后，方程中未知数的范围扩大了. 增根就是使最简公分母为零的根! 三、增根 一、无解的定义： 1、分式方程化成整式方程后，整式方程有解，但这个解使分式方程的最简公分母为0，是分式方程的增根，∴原分式方程无解。 2、分式方程化成整式方程后，整式方程无解。∴原分式方程无解。 二、无解 典例精析 例1.关于的方程有增根，则=_________ 解：去分母： ∵分式方程有增根 ∴ ∴ 把代入整式方程得： ∴ 解题技巧：①去分母 ②求出增根 ③把增根代入，求参数 ④检验 变式探究1：分式方程有增根，则的值为_________ 变式探究2：若关于的方程有增根，求增根和的值。 变式探究3：当=________时，关于的方程会产生增根。 例2.分式方程无解，求的值 解：去分母： ①当，即时， 整式方程无解，则原分式方程无解 ②当整式方程有解，则分式方程有增根 ∴ ∴3 把代入方程得： ∴解得 综上所述： 解题技巧：（分类讨论） 分式方程无解应包含两种情况： （1）分式方程转化后的整式方程无解； （2）整式方程有解，但整式方程的解使最简公分母为0，即分式方程的增根。 ①去分母 ②分情况讨论：整式方程无解和整式方程有解 ③整式方程无解，整式方程的系数为0 ④整式方程有解，按照增根的步骤解 ⑤检验 变式探究1：若关于的方程无解，求的值为_________ 变式探究2：关于的方程无解，则=_________ 变式探究3.关于的分式方程无解，求的值 变式探究4. ，若方程无解，求的值 例3.关于的方程： ①当方程有增根时，求的值 ②当方程无解时，求的值 变式探究1. ①若分式方程有增根，求的值 ②若分式方程无解，求的值 典例精析 参考答案 例1.关于的方程有增根，则=_________ 解：去分母： ∵分式方程有增根 ∴ ∴ 把代入整式方程得： ∴ 变式探究1：分式方程有增根，则的值为_________ 解：去分母： ∵分式方程有增根 ∴ ∴ 把代入方程得： ∴ 把代入方程得： 经检验，当时，原方程无解，舍 综上所述： 变式探究2：若关于的方程有增根，求增根和的值。 解：最简公分母为 去分母： ∵分式方程有增根 ∴ ∴ ∴增根 ①当时， 整式方程为： ∴ ②当时， 整式方程为： ∴ 综上所述： 变式探究3：当=________时，关于的方程会产生增根。 解： 去分母，化为整式方程： ∵最简公分母为 分式方程有增根 ∴=0 使最简公分母=0，求出增根 ∴ 注：增根可能不止一个 ∴原方程的增根为 ①把代入整式方程 将增根代入整式方程，求参数 ∴解得 ②把代入整式方程 ∴解得 综上所述： 原方式方程会出现增根 例2.分式方程无解，求的值 解：去分母： ①当，即时， 整式方程无解，则原分式方程无解 ②当整式方程有解，则分式方程有增根 ∴ ∴3 把代入方程得： ∴解得 综上所述： 变式探究1：若关于的方程无解，求的值为_________ 解：去分母： 整式方程可能无解 由题意，应分两种情况讨论： ①当，即时，整式方程无解，此时，分式方程无解 ②当，即时，此时，整式方程有解，则分式方程有增根 ∴ ∴ 把代入方程得： ∴解得 综上所述：2 变式探究2：关于的方程无解，则=_________ 解：去分母： 整式方程一定有解 ∵整式方程有解，则分式方程有增根 ∴ ∴-1 把代入方程得： ∴解得 ∴当时，分式方程无解 变式探究3.关于的分式方程无解，求的值 解：去分母：方程两边同时乘以得 分类讨论 ①当时，即整式方程无解 ∴分式方程无解 ②当≠0时 ∵分式方程无解 ∴是方程的增根 ∴ ∴ 把代入方程得： ∴解得 综上所述： 变式探究4. ，若方程无解，求的值 解：去分母：方程两边同时乘以得 ①当，即时，整式方程无解 ∴分式方程无解 ②当0时 ∵分式方程无解 ∴是方程的增根 ∵方程有增根 ∴ ∴ ∴ 当时， 当时， 综上所述： 例3.关于的方程： ①当方程有增根时，求的值 ②当方程无解时，求的值 解：①去分母： ∵方程有增根 ∴ ∴ ∴ 当时， 解得： 当时， 解得： 综上所述： ②∵方程无解 ∴方程有增根或 ∴或 综上所述：或 变式探究1. ①若分式方程有增根，求的值 ②若分式方程无解，求的值 解：①去分母：