第13讲 胡不归模型 2023--2024学年九年级数学寒假讲义(人教版)

贵哥讲初中数学 第二部分 综合篇之模型篇 第13讲 胡不归模型 本讲义整体上难度偏难，题目有一定的分层，题量略大！ 一 古老传说 从前有个少年外出求学，某天得知老父亲病危的消息后便立即回家。根据两点之间线段最短，虽然从他此刻位置到家之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，然而，当他赶来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了。邻居告诉他，在弥留之际，老人在不断地叨念:“胡不归?胡不归?” 这个古老的传说，引起了人们的思索：少年忽略了在驿道行走比在砂地行走快的这一因素.他如何才能选择一条时间最短的路线?这就是风靡千百年的“胡不归”问题. 二 问题简化 现在把问题理想化：，，在驿道跑步速度，在砂土地跑步速度，少年在驿道先走一段距离到，再走砂土地，求归途总时间的最小值. 解析 归途总时间，即问题转化为求的最小值. 如下图作角，过点作， 则，总用时， 过点作， 显然取到最小值为， 即归途总时间的最小值. 三 模型归纳 胡不归模型涉及两个定点和一个动点，且动点在一直线上. 如下图，点、是定点，点在上的一动点，， 求的最小值. 解题思路是“折转直”，通过构造把转化为一线段，基本步骤如下， (1)在系数不为的线段的端点处作一角，使得； (2)过动点作，构造直角三角形，可得，则的最小值就是的最小值； (3)当过点作垂线，垂足为，的最小值为. 胡不归模型可解决的最值问题，其动点在直线上运动，更一般的问题，也可进行转化处理. 【题型1】 几何中的胡不归模型 【典题1】 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则的最小值是 . 【巩固练习】 1. (★★)如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，AB＝2，点E为BD上动点，连接AE，则的最小值为(　　) A．1 B． C． D．2 2. (★★)如图，AC是圆O的直径，AC＝4，弧BA＝120°，点D是弦AB上的一个动点，那么OD+BD的最小值为(　　) A． B． C． D． 3. (★★)如图，△ABC中，AB＝AC＝10，∠A＝30°．BD是△ABC的边AC上的高，点P是BD上动点，则的最小值是 　 　． 4. (★★★)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝6．点D是在边BC上的动点，则的最小值是 　 ． 5. (★★★)在平面直角坐标系中，点P为线段AB上任意一点，A(3，0)，B(0，3)点Q从点C(2，0)出发，以每秒1个单位的速度向点P运动，到达P点后以每秒个单位的速度向点B运动，到达B点时停止运动．若点Q的运动时间最少，则P点坐标为 　． 【题型2】 函数中的胡不归模型 【典题1】】 如图，平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，若是轴上的动点，则的最小值为 . 【巩固练习】 1. (★★★)如图，矩形OABC两边与坐标轴正半轴重合，Q是AB边上的一个动点，P是经过A，C两点的直线上的一个动点，则4PQ+2CP的最小值是 　 　． 2. (★★★)如图，在直角坐标系中，点M的坐标为(0，2)，P是直线y＝x在第一象限内的一个动点．(1)∠MOP＝　 　．(2)当MP+OP的值最小时，点P的坐标是 　 　． 3. (★★★)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B(0，﹣3)，若P是x轴上一动点，点D(0，1)在y轴上，连接PD，则C点的坐标是 　 　，的最小值是 　 　． 4. (★★★)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x的顶点为A点，且与x轴的正半轴交于点B，P点为该抛物线对称轴上一点，则2OP+AP的最小值为 　 　． 【题型3】 综合解答题 【典题1】 如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上． (1)试说明CE是⊙O的切线； (2)若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB； (3)设点D是线段AC上任意一点(不含端点)，连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长． 【巩固练习】 1. (★★★★)如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝k1x+3分别与x轴，y轴交于A(﹣3，0)，B两点，与直线l2：y＝k2x交于点C，S△AOC＝9． (1)求tan∠BAO的值； (2)求出直线l2的解析式； (3)P为线段AC上一点(不含端点)，连接OP，一动点H从点O出发，沿线段OP以每秒1个单位长度的速度运动到P，再沿线段PC以每秒个单位长度的速度运动到点C后停止