第12讲 奔驰模型和费马点模型 2023--2024年九年级寒假讲义(人教版)

第二部分 综合篇之模型篇 第12讲 奔驰模型和费马点模型 本讲义整体上难度偏难，题目有一定的分层，题量略大！ 一 奔驰模型 奔驰模型多指形如下面的左图，其中是等边三角形，由于图形像奔驰车标，模型名称由此而来. 二 费马点模型 （1）概念 到一个三角形三个顶点距离之和最小的点，称为三角形的费马点. （2）费马点模型 如下图，的三个内角均不大于，点在三角形内， 当，的值最小. 【题型1】 奔驰模型的证明 【典题1】 如图，等边三角形，，， 则（1），（2）. 【题型2】 奔驰模型的应用 【典题1】 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P是△ABC内一点，AP＝6， 且∠APB＝∠APC＝135°，那么AB＝　 　． 【典题2】如图，△ABC为等边三角形，AB＝6，D为BC中点，M为AD上的动点，连接CM，将线段CM绕点C逆时针方向旋转60°得到CN，连接ND，则ND+CN的最小值为　． 【巩固练习】 1. (★★)如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，将△ABP绕点B顺时针旋转60°到△CBQ位置．连接PQ，则以下结论错误的是(　　) A．∠QPB＝60° B．∠PQC＝90° C．∠APB＝150° D．∠APC＝135° 2. (★★★)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是BC边的中点，点P是AC边上一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ，连接CQ．则CQ的最小值是 　　 ． 3. (★★★)如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一动点，连结BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连结AF，有以下四个结论：①∠CBG＝∠DBE；②△ABF∽△DBE；③2BG2＝BH•HD；④若AB＝4，E是DC中点，连接CG，则△ECG的面积为1，其中正确的有 　 　(填序号)． 4. (★★★)如图，P是等边三角形ABC内一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BP＝BQ，连接CQ． (1)求证：AP＝CQ； (2)若∠APB＝150°，PA＝3，PB＝4，求PC长． 5. (★★★★)问题提出 (1)如图，点M、N是直线l外两点，在直线l上找一点K，使得MK+NK最小． 问题探究 (2)在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB度数的大小． 问题解决 (3)如图，矩形ABCD是某公园的平面图，米，BC＝60米，现需要在对角线BD上修一凉亭E，使得到公园出口A、B，C的距离之和最小．问：是否存在这样的点E？ 若存在，请画出点E的位置，并求出EA+EB+EC的和的最小值；若不存在，请说明理由． 【题型3】费马点模型的证明 【典题1】如下图，的三个内角均不大于，点在三角形内， 当，的值最小. 【题型4】费马点模型的应用 【典题1】已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求此正方形的边长． 【巩固练习】 1. (★★)已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点。已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°时，P就是△ABC的费马点。若点P是腰长为的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD＋PE＋PF＝ . 2. (★★)在△ABC中，若其内部的点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则称P为△ABC的费马点．如图所示，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，设P为△ABC的费马点，且满足∠PBA＝45°，PA＝4，则△PAC的面积为　 　． 3. (★★★)如图，在△MNG中，，点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和最小值是 . 4. (★★★)如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为　 ． 5. (★★★)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P是AB边上一动点，作PD⊥BC于点D，线段AD上存在一点Q，当QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ＝2时，则PD＝　 ． 1. (★★)如图，点D是等边△ABC内一点，AD＝3，BD＝3，，△ACE是由△ABD绕点A逆时针旋转得到的，则∠ADC的度数是(　　) A．40° B．45° C．105° D．55° 2. (★★)如图，在三角形ABC中，∠BAC＝30°且A