第11讲 将军饮马模型 2023--2024学年九年级数学寒假讲义(人教版)

第二部分 综合篇之模型篇 第11讲 将军饮马模型 本讲义整体上难度偏难，题目有一定的分层，题量略大！ 一 模型背后故事 相传亚历山大有一位精通数学和物理的学者，名字叫海伦，有一天，一位罗马将军专程去拜访他，并向他请教一个百思不得其解的问题. 如图，将军每天从军营出发，先到河边饮(yìn)马，然后再去河岸同侧的地开会，应该怎样走才能使得行走的路程最短？ 据说，海伦稍加思索就解决了它，此后这个问题就被称为“将军饮马”，并流传至今. 二 模型归纳 以上故事的模型如下 如下图，点，在直线的同侧，在直线上取一点，使得最小. 作法 作点关于直线的对称点，连接与直线交于点. 将军饮马模型变形 模型1 如下图，点，在直线的异侧，在直线上取一点，使得最小. 两点间线段最短，连接，交直线于点，此时最小，其最小值为. 模型2 如下图，点是内的一定点，分别在，上做点，，使得的周长最小. 作点关于，的对称点，连接，交，于点，，此时的周长最小，其最小值为. 模型3 如下图，点，是内的两点，分别在，上做点，，使得四边形的周长最小. 作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，交，于点，，此时四边形的周长最小，其最小值为. 模型4 如下图，点是N外的一点，在射线上找到点，使(点到射线的距离)最小. 过点作，则. 模型5 如下图，点是内的一点，在射线上找到点，使(点到射线的距离)最小. 如左图，作关于的对称点，过点作，则； 如右图，作关于的对称线，过点作，则. 【题型1】 几何中的将军饮马模型 【典题1】在△ABC中，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，BD⊥AD，F是AD上一动点，取AB中点E，连接EF、BF，若BD＝2，则△BEF周长的最小值是(　　) A．6 B．2 C． D． 【典题2】如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A在y轴的正半轴上，顶点C在x轴的负半轴上，OA＝2，OC＝4，D为OC边的中点，E是OA边上的一个动点，当线段BE+DE的值最小时，E点坐标为(　　) A． B．(0，1) C．(0，2) D． 【巩固练习】 1. (★★)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝6，点P是边BC上一动点，点D在边AB上，且，则PA+PD的最小值为 　 　． 2. (★★)如图，在 Rt△ABC 中，AC＝BC＝6，BD 是∠ABC 的平分线且交AC于点D，在BD上有一点Q，在BC上有一点P，则CQ+PQ的最小值为 　 ． 3. (★★)如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M，P是直线MN上一动点，点H为BC中点，若AB＝13，△ABC的周长是36．则PB+PH的最小值为 。 4. (★★)如图，正方形ABCD的面积为1，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为 。 5. (★★★)如图，平行四边形ABCD中，AB＝AD＝6，∠DAB＝60度，F为AC上一点，E为AB中点，则EF+BF的最小值为　 　． 6. (★★★) 在现实生活中，我们经常会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、A4的打印纸等，其实这些矩形的长与宽之比都为：1，我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”，在“标准矩形”ABCD中，如图所示，点Q在DC上，且DQ＝AD，若G为BC边上一动点，当△AGQ的周长最小时，则的值为 　　 ． 7. (★★★)如图，△ABC内接于半径为2的⊙O，其中∠ABC＝45°，∠ACB＝60°，CD平分∠ACB交⊙O于D，点M、N分别是线段CD、AC上的动点，则MA+MN的最小值为 　　 ． 【题型2】 函数中的将军饮马模型 【典题1】 直线y＝﹣2x+8和双曲线交于点A(1，m)，B(n，2)． (1)求m，n，k的值； (2)在坐标轴上有一点M，使MA+MB的值最小，直接写出点M的坐标． 【巩固练习】 1. (★★)如图，直线y＝x+4与x轴，y轴分别交于A和B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，P为OA上一动点，当PC+PD的值最小时，点P的坐标为 　 　． 2. (★★)如图，抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴分别交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接MA，MC，AC，则△MAC周长的最小值是 　 　． 3. (★★★)如图，在Rt△ABO中，∠OAB＝90°，B(6，6)，点D在边AB上，AD＝5BD，点C为OA的中点，点P为边OB上的动点，则使四边形PCAD周长最小的点P的坐标为 。 4. (★