3.1离散型随机变量的均值 课件-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

3.1 离散型随机变量的均值 1.理解离散型随机变量的均值的意义和性质，达到逻辑推理和数学抽象核心素养水平一的层次； 2.会根据离散型随机变量的分布列求出均值，达到数学运算核心素养水平一的层次； 3.会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题，达到数学建模核心素养水平一的层次； 环节一 离散型随机变量 的均值 我们回顾一下本章§2 中的例1：已知在10件产品中有2件不合格品.从这10件产品中任取3件，用X表示取得产品中的不合格品的件数.我们可求得X的分布列如表： 现在我们关心，取3件该产品时,平均会取到几件不合格品？ 那么，怎样的一个数能够“代表”这个随机变量取值的平均水平呢? 1、离散型随机变量的均值 k 0 1 2 P(X=k) 分析 由平均数的意义,西瓜的平均质量应为12个瓜的总质量除以西瓜的总个数，即 问题1 设有12个西瓜，其中有4个质量是5 kg, 3个质量是6 kg,5个质量是7 kg,求这12个西瓜的平均质量. ①式也可写成如下形式: ① ② 1、离散型随机变量的均值 思考1：上面的红圈里面的式子的意义是什么？ 分别为质量是5 kg，6 kg和7 kg的西瓜个数在总个数中所占的比例 思考2：从上面的例子中，你知道可以怎么求数据的平均值？ 1、离散型随机变量的均值 平均值=数值乘以对应的占比 k 0 1 2 P(X=k) 思考3：那你能求出下面的分布列的平均值？ 平均数0.6就代表“取次品问题”中随机变量X的平均取值。 设离散型随机变量X的分布列如下表： xi x1 x2 … xi … xn P(X=xi) p1 p2 … pi … pn 则称 EX=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn 为随机变量X的均值或数学期望（简称期望）. 1、离散型随机变量的均值 1.理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值. 2.求出X取每个值的概率P（X＝k）. 3.写出X的分布列. 4.利用均值的定义求EX. 思考4：你能归纳出随机变量X的均值的求解步骤吗？ 1、离散型随机变量的均值 思考4：两个分布列的均值（期望）能一样吗？ 1、离散型随机变量的均值 可以一样，所以均值（期望）只能表示数据的“中心位置”，不能反映出数据的所有特点 思考5：前面我们学过两点分布，你能求出两点分布的均值（期望）吗？ 解 依题意知 EX =0·P(X=0)+l·P(X=1)=0· (1-p)）+ 1·p=p. 因此，当X服从参数为p的两点分布时，其均值EX=p. 例1 设X表示抛掷一枚均匀骰子掷岀的点数，求EX. 解 依题意知X的分布列为 i 1 2 3 4 5 6 P(X=xi) 根据均值的定义，可知 1、离散型随机变量的均值 2、离散型随机变量均值的性质 例2 设随机变量X的分布列如下表，且EX＝1.6，则a－b等于（　） X 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A.0.2 B.0.1 C.－0.2 D.－0.4 解析：由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8. 又由EX＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，得a＋2b＝1.3， 解得a＝0.3，b＝0.5，则a－b＝－0.2. C 例3 一个袋子里装有除颜色外完全相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个, 则取出的红球个数的均值是多少？ 解 设X表示取出红球的个数，则X的取值为0,1,2 1、离散型随机变量的均值 故X的分布列如表 X 0 1 2 P 根据均值的定义，可知 例4 袋中有4只红球，3只黑球，现从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分X的均值. 解答：取出4只球颜色及得分的分布情况是4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，因此，X的可能取值为5，6，7，8， P（X＝5）＝＝， P（X＝6）＝＝， P（X＝7）＝＝， 2、离散型随机变量均值的性质 X 5 6 7 8 P ∴EX＝5×＋6×＋7×＋8×＝. P（X＝8）＝＝， 故X的分布列为 例5 根据气象预报，某地区近期暴发小洪水的概率为0.25，暴发大洪水的概率为 0.01.该地区某工地上有一台大型设备，为保护设备，有以下3种方案: 方案1：运走设备，搬运费为3800元. 方案2：建一保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水. 方案3：不釆取措施，希望不发生洪水.此时遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元. 你会选择哪一种方案呢？ 1、离散型随机变量的均值 解 用X1,X2和X3分别表示以上3种方案的损失. 采用方案1,无论有无洪水，都损失3800元，即X1= 3800,故EX1=3800（元）. 采用方案2,遇到大洪水时，损失2000+60