6.1.1 向量的概念【4大题型】-【题型分类归纳】2023-2024学年高一数学同步讲与练（人教B版2019必修第二册）

6.1.1 向量的概念 一、向量的概念 1、向量:既有大小又有方向的量叫做向量. 2、数量:只有大小，没有方向的量(如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等)，称为数量． 【注意】（1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． （2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素． （3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 二、向量的表示法 1、有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． 2、向量的表示方法： （1）字母表示法：如等. （2）几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 【注意】（1）用字母表示向量便于向量运算； （2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． 三、向量的有关概念 1、向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). 【注意】（1）向量的模． （2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小． 2、零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． 3、单位向量：长度等于1个单位的向量. 【注意】 （1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定； （2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同． 4、相等向量：长度相等且方向相同的向量. 【注意】在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等． 四、向量的共线或平行 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定：与任一向量共线. 【注意】 1、零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别； 2、平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系； 3、共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 题型一 平面向量的基本概念 【例1】（2023·海南·高一校考期中）下列各物理量表示向量的是（ ） A．质量 B．距度 C．力 D．体重 【变式1-1】（2023·山西·高一阳泉市第十一中学校考期中）下列命题中真命题的个数是（ ） （1）温度､速度､位移､功都是向量 （2）零向量没有方向 （3）向量的模一定是正数 （4）直角坐标平面上的x轴､y轴都是向量 A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-2】（2023·新疆·高一校考期中）下列说法正确的是（ ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 【变式1-3】（2023·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考期末）（多选）下列命题中正确的是（ ） A．单位向量的模都相等 B．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 C．方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大 D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 题型二 平面向量的几何表示 【例2】（2023·全国·高一假期作业）已知向量如图所示，下列说法不正确的是（ ） A．也可以用表示 B．方向是由M指向N C．起点是M D．终点是M 【变式2-1】（2023·全国·高一随堂练习）选择适当的比例尺，用有向线段表示下列向量． （1）终点A在起点O正东方向3m处； （2）终点B在起点O正西方向3m处； （3）终点C在起点O东北方向4m处； （4）终点D在起点O西南方向2m处． 【变式2-2】（2023·安徽淮北·高一濉溪县临涣中学校考阶段练习）在如图的方格纸中，画出下列向量． （1），点在点的正西方向； （2），点在点的北偏西方向； （3）求出的值． 【变式2-3】（2023·高一课时练习）如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方． （1）作出、、（图中1个单位长度表示100m）； （2）求的模． 【变式2-4】（2023·高一课时练习）在如图的方格纸上，已知向量,每个小正方形的边长为1． （1）试以为终点画一个有向线段，设该有向线段表示的向量为，使． （2）在图中画一个以为起点的有向线段，设该有向线段表示的向量为