内蒙古2023-2024学年高一上学期期末数学综合测试题（二）

期末综合测试题（一） 一、单选题 1．设集合，则（    ） A． B． C． D． 2．在△中，“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知函数的值域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．定义在上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 5．函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   6．已知函数是定义在上的偶函数，对任意，且，都有成立，若，，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，其中，若，使得关于x的不等式成立，则正实数a的取值范围为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 8．已知函数，对于任意，且，均存在唯一实数，使得，且，若关于的方程有3个不相等的实数根，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．函数是偶函数 B．函数是增函数 C．函数的图象一定经过点 D．函数的最小值为0 10．（多选）若函数在上满足：对任意的，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列函数能被称为“理想函数”的有（    ） A． B． C． D． 11．已知正实数x，y满足，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为8 C．的最大值为 D．没有最大值 12．已知函数的两个相邻零点间的距离为，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数在区间上单调递减 C． D．函数在区间内的零点个数为3 三、填空题 13．已知函数，则的值是 . 14．已知函数若方程有四个不同的解，且，则a的最小值是 . 15．设函数的定义域为R，且对任意实数恒有：①；②；③当时，.若在上恰有三个零点，则的取值范围为 ． 16．函数，若的值域为，则的值为 . 四、证明题 17．已知函数 （1）求； （2）探究函数的单调性，并证明你的结论. 五、解答题 18．已知定义在上的函数对任意实数、，恒有，且当时，，. (1)求的值； (2)求证：为奇函数； (3)求在上的最大值与最小值． 六、作图题 19．已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交. (1)求该函数的解析式，并画出图象； (2)判断该函数的奇偶性和单调性； (3)求不等式的解. 七、问答题 20．已知函数. （1）求函数在区间上的最大值和最小值； （2）设是锐角，，求的值. 八、应用题 21．为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰梯形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为（宣传栏中相邻的三角形和梯形间在水平方向上的留空宽度也都是10，设． (1)当时，求海报纸（矩形）的周长； (2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？ 参考答案： 1．C 集合，则. 故选：C. 2．C 由正弦定理，得，由得，即，由大边对大角得；当得，即，由正弦定理得，因此“”是“”的充要条件，故答案为C. 3．C 由值域为，得， 故，即的定义域为， 令得，故的定义域为， 4．A ∵定义在上的偶函数在上单调递增，且， ∴在上单调递减，且， ∴当或时，；当时，， ∵，∴或， ∴或， ∴或，即， 则不等式的解集是. 5．D 函数的定义域为， 因为， 所以为奇函数，所以的图象关于原点对称， 所以排除A， 当时，，所以排除C， 当时，， 因为和在上递增，所以在上递增，所以排除B， 6．A 因为，， 所以， ， ， 又因为函数是定义在上的偶函数， 所以， 又因为对任意，且，都有成立， 所以函数在上单调递增， 又由上可知，， 所以. 7．B 由题意可知， 若，使得关于x的不等式成立， 则在上的最小值， ， 为正实数， 则当时，，解得； 当时，，解得， 综上，正实数a的取值范围为或， 8．D 由题意可知在上单调递增，值域为， ∵对于任意，且，均存在唯一实数，使得，且， ∴在上是减函数，值域为， ∴，且，即． ∵有3个不相等的实数根， ∴，∴， 且，则，即， ，，即， 则，其中， 而为上的增函数，故， ∴的取值范围是， 9．BD 依题意， 所以， 由于的定义域是，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数，A选项错误. 在上递增，所以B选项正确. ，所以C选项错误. ，所以D选项正确. 10．ABD 不妨设，则由题意可得，即，由单调性定义可知，函数在上单调递增，即若在上单调递增，