专题15 二次函数综合题（七种考法）-【好题汇编】备战2023-2024学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（北师大版）

专题15 二次函数综合题（七种考法） 特殊三角形问题 1．【山东省东营市河口区胜利第六十二中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】如图，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点A的坐标为，点C坐标为，对称轴为．点M为线段上的一个动点（不与两端点重合），过点M作轴，交抛物线于点P，交于点Q． (1)求抛物线及直线的表达式； (2)过点P作，垂足为点N．求线段的最大值； (3)试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2．【山西省长治市屯留区2022-2023学年九年级上学期1月期末数学试题】综合与实践 如图，抛物线与轴交于和两点（点在点的右侧），与轴交于点，抛物线的顶点是点． (1)求点，，和点四点的坐标； (2)如图1，连接，和，求的面积； (3)点在抛物线的对称轴上运动，是以为直角边的直角三角形，借助图2，直接写出点的坐标． 特殊四边形问题 3．【重庆市开州区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】如图1，抛物线与轴交于，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点、为直线下方抛物线上的两点，点的横坐标比点的横坐标大1，过点作轴交于点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点、、、为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 4．【湖南省湘西州古丈县2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】如图，在平面直角坐标系中，二次函数与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），直线与抛物线交于A、C两点． (1)求点C的坐标； (2)点P为直线下方抛物线上一点，过点P作y轴平行线交于E点，当最长时求此时点P的坐标； (3)抛物线顶点为M，在平面内是否存在点N，使以为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出N点坐标并在备用图中画出图形；若不存在，请说明理由． 相似三角形问题 5．【安徽省滁州市凤阳县李二庄中学等2校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】抛物线与x轴交于A，B两点，A点在B点左边，与y轴交于C点，顶点为M． (1)当时，求点A，B，M的坐标； (2)如图1，在（1）的条件下，若P为抛物线对称轴上一个动点，且为等腰三角形，求P点坐标； (3)如图2，若一次函数的图象过A点且与抛物线交于另一点F，交对称轴于E，轴，，．若，求的值． 6．【山东省东营市东营区胜利第一初级中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于，两点，经过，两点的抛物线与轴的正半轴相交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若为线段上一点，，求的长； (3)在（2）的条件下，设是轴上一点，试问：抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 面积问题 7．【山东省泰安市东平县东平县实验中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】如图，抛物线经过点，，与轴正半轴交于点，且，对称轴交轴于点．直线经过，两点． (1)求抛物线及直线的函数表达式； (2)点是直线上方抛物线上一点，是否存在点F使的面积最大，若有则求出点F坐标及最大面积； (3)连接，若点是抛物线上对称轴右侧一点，点是直线上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的，且满足．若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 8．【辽宁省葫芦岛市建昌县2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点，点在抛物线上．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，若点为直线上方抛物线上的点，过点作轴交于点，作轴交于点，若的面积为2，求点坐标； (3)如图2，点为抛物线的顶点，当时，在抛物线上是否存在点使是等腰三角形？若能，请直接写出点的坐标；若不能，请说明理由． 线段周长问题 9．【山西省吕梁市兴县东关中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】综合与探究 如图，抛物线与x轴交于，两点，顶点为P，连接，于点B，，Q是（不与点O，B重合）上的一个动点，连接，将沿着对折后，点O落在点C处，交x轴于点D． (1)求抛物线的表达式． (2)当的面积的面积时，求点Q的坐标． (3)在线段上是否存在这样的点Q，使得的值最小，若存在，请直接写出的最小值；若不存在，请说明理由． 10．【江苏省南京市建邺区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C． (1)求a，b满足的关系式； (2)当时，为抛物线在第二象限内一点，点P到直线的距离