2024年河南中考数学专题复习第三章 第十节 二次函数与线段、面积问题 课件

二次函数与线段、面积问题 第十节 【思维教练】要求抛物线的解析式，可根据题中所给条件代入两个点坐标即可求解；要求BC的长，由B，C两点的坐标再根据两点之间的距离公式求解． 考点精讲 例1　 如图①，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A，B(3，0)，与y轴交于点C(0，3)． (1)求抛物线的解析式与BC的长； 解：(1)∵抛物线经过点B(3，0)，C(0，3)，∴将(3，0)，(0，3)代入 y＝－x2＋bx＋c，得 解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3； 如图，连接BC， 例1题图① ∵OB＝3，OC＝3，∴BC＝ ＝ ； (2)如图②，点D为抛物线上一点，过点D作DE⊥x轴于点E，连接BC，交DE于点F，连接AF，若AF＝BF，求点F的坐标； 【思维教练】要求点F的坐标，可根据B，C两点的坐标求出点F所在直线的解析式，由DE⊥x轴和AF＝BF得出点F在AB的垂直平分线上，得出点F横坐标即可求解． 例1题图② (2)∵DE⊥AB，且AF＝BF， ∴点E为AB的中点，由(1)得，y＝－x2＋2x＋3，易得A(－1，0)， ∴点E的坐标为(1，0)， ∴点F的横坐标为x＝1，设直线BC的解析式为y＝kx＋m(k≠0)，将B(3，0)，C(0，3)代入， 得 解得 例1题图② ∴直线BC的解析式为y＝－x＋3，∵直线BC与直线DE交于点F，点F的横坐标为x＝1， ∴点F的坐标为(1，2)； (3)如图③，在该抛物线上是否存在一点G，使得S△ABG＝6，若存在，求出所有满足条件的点G的坐标；若不存在，请说明理由； 【思维教练】分两种情况进行讨论，点G在x轴上方及x轴下方． 例1题图③ 设点G的坐标为(p，－p2＋2p＋3)， 则GP＝－p2＋2p＋3，∵S△ABG＝ AB·GP＝6，AB＝4，∴ ×4(－p2＋2p＋3)＝6，解得p＝0或p＝2，当p＝0时，－p2＋2p＋3＝3，当p＝2时，－p2＋2p＋3＝3，∴点G的坐标为(0，3)或(2，3)； 例1题图③ ∟ P (3)存在，分两种情况：①当点G在x轴上方时，如图，过点G作GP⊥AB于点P， ②当点G在x轴下方时，如解图，过点G作GQ⊥AB于点Q，设点G的坐标为(q，－q2＋2q＋3)，则GQ＝－(－q2＋2q＋3)＝q2－2q－3，∵S△ABG＝ AB·GQ＝6，∴ ×4(q2－2q－3)＝6，解得q＝1＋ 或q＝1－ ，当q＝1＋ 时，－q2＋2q＋3＝－3，当q＝1－ 时，－q2＋2q＋3＝－3，∴点G的坐标为(1＋ ，－3)或(1－ ，－3)，综上所述，在抛物线上存在一点G，使得S△ABG＝6， 点G的坐标为(0，3)或(2，3)或(1＋ ，－3)或(1－ ，－3)； 例1题解图 (4)如图④，已知点K是第一象限内抛物线上一动点(不与点B，C重合)，连接BC，CK，BK，过点K作x轴的垂线交线段BC于点I.设点K的横坐标为k，△BCK的面积为S. ①求S关于k的函数解析式； 【思维教练】①采用“分割法”表示出所分割的三角形的面积，求和即可； 例1题图④ (4)由(2)知，直线BC的解析式为y＝－x＋3，设点K的坐标为(k，－k2＋2k＋3)，则点I的坐标为(k，－k＋3)，∴KI＝－k2＋2k＋3－(－k＋3)＝－k2＋3k，∴S＝S△KIB＋S△KIC＝ KI·OB＝ (－k2＋3k)×3＝－ k2＋ k，即S＝－ k2＋ k(0＜k＜3)； 例1题图④ ②求当k为何值时，S有最大值，最大值是多少？此时KI同时取到最大值吗？ 例1题图④ 【思维教练】②结合二次函数的性质即可求得S的最大值及此时的k值． ②将S＝－ k2＋ k化为顶点式得S＝－ (k－ )2＋ ，∵－ ＜0，0＜k＜3，∴当k＝ 时，S取得最大值，最大值为 .∵KI＝－k2＋3k＝－(k－ )2＋ ， ∴当k＝ 时，KI取得最大值，最大值为 ，∴当k＝ 时，S取得最大值，最大值为 ，此时KI同时取到最大值． 解题关键点 利用面积分割法得到S＝S△KIB＋S△KIC，再利用二次函数性质求最值是解题关键． 【方法链接】平面直角坐标系中的面积问题见本书微专题 平面直角坐标系中的线段、面积问题 请完成精练本习题 $$